electrodynamics:13

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:13 [2019/11/11 13:01] – создано rootelectrodynamics:13 [2020/11/25 06:17] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-===== Магнитостатика ===== +4.1.  Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса $a$ 
-==== Закон Ампера ==== +с током $J$. Используя полученный результат, найти: 
-\begin{eqnarray*} +  - поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\alpha_1, \alpha_2$; 
-%\lefteqn +  - поле на конце полубесконечного соленоида; 
-{d\vec F_{12}  = \frac{{J_1 J_2 \left[ {d\vec l_1  \times +  - поле внутри бесконечного соленоида. 
-\left[ {d\vec l_2  \times \vec r_{12} } \right]} \right]}} {{c^2 +Число витков на единицу длины соленоидов $n$.
-r_{12}^3 }} = \frac{{\left[ {\vec j_2  \times \left[ {\vec j_1 +
-\times \vec r_{12} } \right]} \right]dV_1 dV_2 }} {{c^2 r_{12}^3 +
-}} =} \\ +
-=\frac{\left[ {\vec v_2  \times \left[ {\vec v_1 \times \vec +
-r_{12} } \right]} \right]dq_1 dq_2 }{c^2 r_{12}^3 }. +
-\end{eqnarray*}+
  
-Сила Ампера:\[ d\vec F = \frac{{J\left[ {d\vec l \times +[[res4.1|решение]]
-\vec B} \right]}} {c} = \frac{{\left[ {\vec j \times \vec B} +
-\right]dV}} {c} = \frac{{\left[ {\vec v \times \vec B} \right]dq}} +
-{c}. +
-\]+
  
-{Закон Био--Савара} ($\mu=1, \vec{B}=\vec{H}$):+4.2.  
 +Найти величину магнитного поля на оси 
 +равномерно заряженного диска радиуса $a$ (полный заряд диска равен 
 +$Q$), вращающегося вокруг оси с угловой скоростью $\omega$ на 
 +расстоянии $h$ от диска.
  
-\[ +[[res4.2|решение]]
-d\vec H = \frac{{J\left[ {d\vec l \times \vec r} \right]}} {{cr^3 +
-}} = \frac{{\left[ {\vec j \times \vec r} \right]dV}} {{cr^3 }} = +
-\frac{{\left[ {\vec v \times \vec r} \right]}} {{cr^3 }}dq +
-\]+
  
-$\vec{B}[\mbox{Тл}]=10^4\vec{B}[\mbox{Гс}]$,\,\,$\vec{H}[\mbox{А/м}]=4\pi \cdot 10^-3\vec{H}[\mbox{Э}]$.+4.3. а) На шар радиуса $R$ плотно намотана проволока так, что плоскости витков параллельны, витки плотно прилегают друг к другу. Число витков $N.$ По проволоке пустили ток $J.$ Найти магнитное поле в центре шара.
  
-В вакууме ($\mu=1$) для постоянных токов уравнения +[[res4.3a|решение]]
-Максвела имеют вид:+
  
-\[ + 4.4.  Определить магнитное поле, создаваемое двумя параллельными 
-\Div \vec{B}=0,\,\, \rot \vec{B}=\frac{4\pi}{c}\vec{j},\,\, +плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными 
-\vec{B}=\vec{H}. +плотностями $i=\text{const}$. Рассмотреть случаи:  
-\]+  - токи текут в противоположных направлениях;  
 +  - токи направлены одинаково.
  
-В интегральной форме:+[[res4.4|решение]]
  
-\[ + 4.5. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса $b$ 
-\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} +находится коаксиальный с ней сплошной провод радиуса $a$. По этим 
- {B_n dS = 0,\,\, \oint{B_l dl}=\frac{4\pi}{c}\iint j_n dS}. +проводникам текут постоянные одинаковые токи $J$ в противоположных 
-\]+направлениях. Определить магнитное поле во всем пространстве. 
 +Сравнить его с полем прямого тока.
  
-Граничные условия:+[[res4.5|решение]]
  
-\[ +4.8. Определить магнитное поле в цилиндрической полости, вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника --- соответственно $a$ и $b$, расстояние между их параллельными осями --- $d\,\,(b>a+d)$. Ток $J$ равномерно распределен по всему сечению.
-B_{1n}|  = B_{2n}| ,\text{  }\vec H_{1\tau }|  - \vec H_{2\tau }| +
-= \frac{{4\pi }} {c}\left[ {\vec I_{\text{пов}} \times \vec +
-n_{21}} \right]. +
-\]+
  
-Скалярный магнитный потенциал $\varphi_m$ для областей, +[[res4.8|решение]]
-где $\vec{j}\equiv 0$ удовлетворяет уравнениям:+
  
-\[ +4.10. Найти поле соленоида, свернутого в тор. Число витков --- $N,$ ток --- $J,$ размеры тора заданы. Сравнить результат с полем внутри бесконечного соленоида с той же плотностью намотки и тем же током $J.$
-\Delta \varphi _m  = 0,\text{  }\left. {\varphi _{1m} } \right| = +
-\left. {\varphi _{2m} } \right|,\text{  }\mu _1 \left. +
-{\frac{{\partial \varphi _1 }} {{\partial n}}} \right| = \mu _2 +
-\left. {\frac{{\partial \varphi _2 }} {{\partial n}}} \right|. +
-\]+
  
-Векторный магнитный потенциал $\vec{A}\,\, (\vec{B}=\rot +[[res4.10|решение]]
-\vec{A})$ удовлетворяет уравнениям+
  
-\[ +4.13. Вертикальный провод с током $J$ оканчивается в земле с проводимостью $\sigma $ полусферическим заземлителем радиуса $a.$ Считая проводимость $\sigma = \text{const}$ и предполагая, что второй электрод находится на расстоянии, много большем $a,$ найти магнитное поле в земле и в воздухе.
-\begin{gathered} +
-  \Delta \vec A =  - \frac{{4\pi }} +
-{c}\mu \vec j,\,\,\,\Div\vec A + \frac{1} {c}\frac{{\partial +
-\varphi }} +
-{{\partial t}} = 0. \hfill \\ +
-  d\vec A = \frac{\mu } +
-{c}\frac{{\vec j}} {r}dV = \frac{\mu } {c}J\frac{{d\vec l}} {r} = +
-\mu \frac{{\vec vdq}} {{cr}} = \frac{{\varepsilon \mu \vec v}} +
-{c}d\varphi . \hfill \\ +
-\vec A(\vec{r})=\frac{\mu } {c}\int{\frac{\vec j{(\vec r')}dV'}{R(\vec r,\vec r')}}.\hfill\\ +
-\end{gathered} +
-\] +
-Векторный потенциал магнитного диполя\\+
  
-\[  \vec A_{\text{точ}}  = \frac{{\left[ {\vec m \times \vec r} \right]}} +[[res4.13|решение]] 
-{{r^3 }},\,\,\,\text{ где }\,\,\vec m = \frac{1} +
-{{2c}}\int {\left[ {\vec r' \times \vec j'} \right]} dV'. \] +
- +
- +
-Магнитный момент маленького витка с током +
-$\vec{m}=\frac{JS}{c}\vec{n}$. +
- +
-Сила и момент, действующие на магнитный диполь в слабо неоднородном поле +
- +
-\[ +
-\vec{F}=\nabla(\vec{m}\vec{B})=(\vec{m}\cdot \vec\nabla)\vec B, +
-\vec{N}=[\vec{m}\times\vec{B}]. +
-\]+