Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res04.1 [2019/09/11 15:29] – создано root
+++ electrodynamics:res04.1 [2019/12/24 17:05] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Найти потенциал $\varphi (x, y, z)$, если плотность заряда $\rho=\rho _0\sin(\alpha x) \sin(\beta y) \sin(\gamma z)$.
+-----
 Так как распределение плотности заряда $\rho=\rho_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z)$ периодическое, то можно ожидать. что и потенциал будет в виде периодической функции с тем же периодом, т.к. должен удовлетворять уравнению:
 $$
@@ Строка 4: / Строка 8: @@
 $$
 Будем искать решение в виде:
-$\varphi=\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z)$.
+$\varphi=\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z) + \varphi_1$.
 Подействуем на потенциал оператором Лапласа:
 $$
-\Delta\varphi=-(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z).
+\Delta\varphi=-(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z) + \Delta\varphi_1.
 $$
-Приходим к уравнению:
+Приходим, с одной стороны, к уравнению:
 $(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})\varphi_{0}=4\pi\rho_{0}$
 , следовательно:
-$\varphi_{0}=\frac{4\pi\rho_{0}}{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$.
+$\varphi_{0}=\frac{4\pi\rho_{0}}{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$, а с другой стороны к уравнению
+$$\Delta\varphi_1 = 0,$$
+где $\varphi_1 $ --- некоторое распределение потенциала в отсутствии зарядов.
 Окончательно запишем ответ:
 <WRAP center round box 60%>
 $$
-\varphi=\frac{4\pi\rho_{0}}{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z).
+\varphi=\frac{4\pi\rho_{0}}{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z) + \varphi_1.
 $$
 </WRAP>