electrodynamics:res1.15

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.15 [2019/09/03 06:36] – rootelectrodynamics:res1.15 [2019/12/24 16:42] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Электрическое поле $\vec{E}$ удовлетворяет уравнению +1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического  поля: 
-$$ +
-(1) \hspace{10pt} \text{rot} \, \vec{E}=0 +
-$$ +
-и, значит, является потенциальным, т. е. таким полем, в котором +
-работа сил поля при перемещении заряда из одной точки в другую +
-не зависит от пути, по которому производится его перемещение, +
-а зависит только от расположения начальной и конечной +
-точек. Потенциальность поля обусловливает +
-существование такой скалярной функции, называемой потенциалом +
-$\varphi$, разностью значений которой в конечной и начальной +
-точках пути определяется работа по перемещению единичного +
-заряда. Потенциал $\varphi $ вводится соотношением +
-$$ +
-(2) \hspace{10pt} \vec{E}=-\text{grad} \, \varphi. +
-$$ +
-Представленный таким образом вектор $\vec{E}$ является решением +
-уравнения (1), поскольку ротор градиента всегда равен нулю.+
  
-Если в уравнении (2) $\varphi$ заменить на $\varphi+\const$, то +а) на оси $Z$  круглого тонкого диска радиуса  $R$; 
- $\vec{E}$ от этого не +
-  изменится. Таким образом, потенциал является вспомогательной +
-  величиной и определяется с точностью до произвольной аддитивной +
- постоянной. Численная величина не может быть измерена +
-  на опыте. Физическое значение имеет лишь разность потенциалов +
- между двумя точками, что соответствует работе $A$ при +
-  перемещении единичного заряда между этими точками: +
-$$A=\int\limits_{c}^{d}(\vec{E}\,d\vec{\ell})= +
-\int\limits_{c}^{d}(\grad\,\varphi d\vec{\ell})=$$ +
-$$=-\int\limits_{c}^{d}(\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx+ +
-\frac{\partial\varphi}{\partial y}dy+ +
-\frac{\partial\varphi}{\partial z}dz)=-\int\limits_c^d d\varphi= +
-\varphi(c)-\varphi(d).$$ +
- Таким образом, потенциал в любой фиксированной точке можно +
- сделать равным  любой наперед заданной величине. Тогда потенциал +
-  всех остальных  точек оказывается  определенным однозначно. +
-    Если  заряды расположены  в конечной  области пространства, +
- то обычно потенциал выбирается равным нулю   на бесконечности. +
-    Для системы точечных зарядов +
-\begin{equation} +
-\varphi=\sum_i\frac{q_i}{R_i}, +
-\end{equation} +
- где $R_i$ -- расстояние от заряда $q_i$  до точки, в которой +
- вычисляется потенциал $\varphi$. При непрерывном распределении +
-заряда +
-\begin{equation} +
-\varphi=\int\frac{dq}{R}=\int\limits_V\frac{\rho\, dv}{R}+ +
-\int\limits_S\frac{\sigma \,ds}{R}+ \int\limits_L\frac{\eta +
-\,d\ell}{R}, +
-\end{equation} +
- где $\rho\,,\,\sigma\,,\,\eta$ -- соответственно объемная, +
- поверхностная и линейная плотности зарядов; +
- $R$ -- расстояние до точки, в +
- которой вычисляется потенциал от зарядов $\rho dv$ в первом +
- интеграле, $\sigma ds$ --  во втором, $\eta d\ell$ -- в третьем; +
- $dv\,,\,ds\,,\,d\ell$ -- +
- соответственно элементарные объем, площадь, длина. Интегралы +
- берутся по всему объему, где $\rho\ne 0$, по поверхности, где +
-$\sigma\ne 0$,  по линии, где $\eta\ne 0$.+
  
-     Если заряды не расположены в конечной области пространства, +б) равномерно заряженной бесконечной плоскости; 
- то не всегда можно выбрать потенциал так, чтобы на бесконечности +
- он был равен нулю, и путь прямого вычисления потенциала +
- по формуле (4) может приводить к появлению расходимостей, +
- поскольку эта формула является обобщением формулы (3) +
- для потенциала от системы точечных зарядов, для которых потенциал +
-принимается  равным нулю  на бесконечности. В этих случаях +
- удобнее сводить задачу о нахождении потенциала к решению +
- дифференциального уравнения Пуассона $\Delta\varphi=-4\pi\rho$. +
- Иногда проще сначала +
- найти $\vec{E}$, например, по теореме Гаусса в задачах +
- с определенной симметрией распределения заряда (см.~1.23), +
- а затем, обратив уравнение (1), найти потенциал по формуле +
-\begin{equation} +
-\varphi=-\int(\vec{E}\,d\vec{R})+\const, +
-\end{equation} +
- подобрав константу так, чтобы потенциал имел более простой +
- вид.+
  
- а) Потенциал будем вычислять по  формуле  (4). Выделим на диске кольцо +в) на оси $Z$  круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$. 
-\begin{wrapfigure}[9]{l}{4.2cm} + 
-\vspace{-15pt} +----- 
-\includegraphics[width=3.5cm]{ris7.eps} + 
-\end{wrapfigure} +==== а) ==== 
- радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины+Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо 
 + 
 +{{ :electrodynamics:выделение_025.jpg?direct&200 |}} 
 + 
 +радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины
 кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда
 $$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$ $$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$
 Потенциал, создаваемый этим  зарядом на оси на расстоянии $z$ от Потенциал, создаваемый этим  зарядом на оси на расстоянии $z$ от
-диска, равен $dq/\sqrt{z^2+r^2}$. Потенциал, создаваемый кольцом +диска, равен $\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$. Потенциал, создаваемый кольцом 
-радиуса $r$  ширины~$dr$, +радиуса $r$  ширины $dr$, 
-\par +$$ 
-\addvspace{1.5mm} \noindent +d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}. 
-          $$d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}.$$ +$$ 
- Тогда +Тогда 
-\begin{equation}+<WRAP center round box 60%> 
 +$$
 \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}
 =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big),
-\end{equation}+$$
 откуда откуда
-\begin{equation}+$$
 E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}= E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=
 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr). 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr).
-\end{equation}+$$ 
 +</WRAP>
  
-  б) Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает +==== б) ==== 
-     положение плоскос-\lb ти ($x, y$). +  
- В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического +Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает 
- поля может зависеть только от координаты $z$ и должен +положение плоскости ($x, y$). 
- быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости, +В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического 
- если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического +поля может зависеть только от координаты $z$ и должен 
- поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно +быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости, 
- найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле (7) для поля, +если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического 
- создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем+поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно 
 +найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле для поля, 
 +создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем 
 +<WRAP center round box 60%>
 $$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$ $$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$
 +</WRAP>
  
-    Заметим, что предельный переход  в  формуле (6) для потенциала + 
- приводит  к  бесконечности. Это случай возникновения +Заметим, что предельный переход  в  формуле для потенциала приводит  к  бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала   используем интеграл: 
-  трудности  с  применением  формулы  (4), о  котором говорилось +$$ 
- выше.  Распределение потенциала   находим, используя формулу (5): +\varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z. 
-$$\varphi=-2\pi\sigma |z|+\const.$$ +$$ 
- Константу положим равной нулю. Это означает, что мы выбрали +При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно, 
- равным нулю потенциал самой плоскости. Окончательно+<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$ $$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
 +</WRAP>
  
- Напряженность электрического поля на заряженной +Напряженность электрического поля на заряженной 
- плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из +плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из 
- граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$+граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$
  
-    в) Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать +==== в) ====  
- как суперпозицию двух полей: поля плоскости без + 
- отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса+Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать 
 +как суперпозицию двух полей: поля плоскости без 
 +отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса
 $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$. $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$.
- Поэтому +Поэтому 
-$$E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}- +<WRAP center round box 60%> 
-      2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)= +$$ 
-      2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.$$ +E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}- 
- Распределение потенциала на оси отверстия +2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)= 
-$$\varphi=\int E_z\,dz+\const=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\const.$$ +2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}. 
- Константу  можно  выбрать  равной  нулю,  это  будет означать, что +$$ 
- потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.+</WRAP> 
 + 
 +Распределение потенциала на оси отверстия 
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}. 
 +$$ 
 +</WRAP>
  
 +Константу  можно  выбрать  равной  нулю,  это  будет означать, что
 +потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.