electrodynamics:res1.15

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.15 [2019/09/03 07:06] – rootelectrodynamics:res1.15 [2019/12/24 16:42] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Электрическое поле $\vec{E}$ удовлетворяет уравнению +1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического  поля: 
-$$ +
-(1) \hspace{10pt} \text{rot} \, \vec{E}=0 +
-$$ +
-и, значит, является потенциальным, т. е. таким полем, в котором +
-работа сил поля при перемещении заряда из одной точки в другую +
-не зависит от пути, по которому производится его перемещение, +
-а зависит только от расположения начальной и конечной +
-точек. Потенциальность поля обусловливает +
-существование такой скалярной функции, называемой потенциалом +
-$\varphi$, разностью значений которой в конечной и начальной +
-точках пути определяется работа по перемещению единичного +
-заряда. Потенциал $\varphi $ вводится соотношением +
-$$ +
-(2) \hspace{10pt} \vec{E}=-\text{grad} \, \varphi. +
-$$ +
-Представленный таким образом вектор $\vec{E}$ является решением +
-уравнения (1), поскольку ротор градиента всегда равен нулю.+
  
-Если в уравнении (2) $\varphi$ заменить на $\varphi + \text{const}$, то +а) на оси $Z$  круглого тонкого диска радиуса  $R$; 
-$\vec{E}$ от этого не +
-изменится. Таким образом, потенциал является вспомогательной +
-величиной и определяется с точностью до произвольной аддитивной +
-постоянной. Численная величина не может быть измерена +
-на опыте. Физическое значение имеет лишь разность потенциалов +
-между двумя точками, что соответствует работе $A$ при +
-перемещении единичного заряда между этими точками: +
-$$ +
-A=\int\limits_{c}^{d}(\vec{E}\,d \vec{\ell})= +
-- \int\limits_{c}^{d}(\text{grad} \,\varphi \, d\vec{\ell})= +
-$$ +
-$$ +
-=-\int\limits_{c}^{d}(\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx+ +
-\frac{\partial\varphi}{\partial y}dy+ +
-\frac{\partial\varphi}{\partial z}dz)=-\int\limits_c^d d\varphi= +
-\varphi(c)-\varphi(d). +
-$$ +
-Таким образом, потенциал в любой фиксированной точке можно +
-сделать равным  любой наперед заданной величине. Тогда потенциал +
-всех остальных  точек оказывается  определенным однозначно.+
  
-Если  заряды расположены  в конечной  области пространства, +б) равномерно заряженной бесконечной плоскости; 
-то обычно потенциал выбирается равным нулю   на бесконечности.+
  
-Для системы точечных зарядов +в) на оси $Z$  круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$.
-$$ +
-(3) \hspace{10pt}  +
-\varphi=\sum_i\frac{q_i}{R_i}, +
-$$ +
-где $R_i$ --- расстояние от заряда $q_i$  до точки, в которой +
-вычисляется потенциал $\varphi$. При непрерывном распределении +
-заряда +
-$$ +
-(4) \hspace{10pt}  +
-\varphi=\int\frac{dq}{R}=\int\limits_V\frac{\rho\, dv}{R}+ +
-\int\limits_S\frac{\sigma \,ds}{R}+ \int\limits_L\frac{\eta +
-\,d\ell}{R}, +
-$$ +
-где $\rho\,,\,\sigma\,,\,\eta$ --- соответственно объемная, +
-поверхностная и линейная плотности зарядов; +
-$R$ --- расстояние до точки, в +
-которой вычисляется потенциал от зарядов $\rho dv$ в первом +
-интеграле, $\sigma ds$ ---  во втором, $\eta d\ell$ --- в третьем; +
-$dv\,,\,ds\,,\,d\ell$ --- +
-соответственно элементарные объем, площадь, длина. Интегралы +
-берутся по всему объему, где $\rho\ne 0$, по поверхности, где +
-$\sigma\ne 0$,  по линии, где $\eta\ne 0$.+
  
-Если заряды не расположены в конечной области пространства, +-----
-то не всегда можно выбрать потенциал так, чтобы на бесконечности +
-он был равен нулю, и путь прямого вычисления потенциала +
-по формуле (4) может приводить к появлению расходимостей, +
-поскольку эта формула является обобщением формулы (3) +
-для потенциала от системы точечных зарядов, для которых потенциал +
-принимается  равным нулю  на бесконечности. В этих случаях +
-удобнее сводить задачу о нахождении потенциала к решению +
-дифференциального уравнения Пуассона $$\Delta\varphi=-4\pi\rho.$$ +
- +
-Иногда проще сначала +
-найти $\vec{E}$, например, по теореме Гаусса в задачах +
-с определенной симметрией распределения заряда, /* (см.~1.23), */ +
-а затем, обратив уравнение (1), найти потенциал по формуле +
-$$ +
-(5) \hspace{10pt}  +
-\varphi=-\int(\vec{E}\,d\vec{R})+\text{const}, +
-$$ +
-подобрав константу так, чтобы потенциал имел более простой +
-вид.+
  
-а) Потенциал будем вычислять по  формуле  (4). Выделим на диске кольцо+==== а) ==== 
 +Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо
  
 {{ :electrodynamics:выделение_025.jpg?direct&200 |}} {{ :electrodynamics:выделение_025.jpg?direct&200 |}}
Строка 102: Строка 24:
 $$ $$
 Тогда Тогда
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-(6) \hspace{10pt}  
 \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}
 =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big),
Строка 109: Строка 31:
 откуда откуда
 $$ $$
-(7) \hspace{10pt}  
 E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}= E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=
 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr). 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr).
 $$ $$
 +</WRAP>
  
-б) Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает+==== б) ==== 
 +  
 +Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает
 положение плоскости ($x, y$). положение плоскости ($x, y$).
 В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического
Строка 121: Строка 45:
 если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического
 поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно
-найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле (7) для поля,+найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле для поля,
 создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем
 +<WRAP center round box 60%>
 $$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$ $$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$
 +</WRAP>
  
-Заметим, что предельный переход  в  формуле (6) для потенциала + 
-приводит  к  бесконечности. Это случай возникновения +Заметим, что предельный переход  в  формуле для потенциала приводит  к  бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала   используем интеграл: 
-трудности  с  применением  формулы  (4), о  котором говорилось +$$ 
-выше.  Распределение потенциала   находим, используя формулу (5): +\varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z. 
-$$\varphi=-2\pi\sigma |z|+\const.$$ +$$ 
-Константу положим равной нулю. Это означает, что мы выбрали +При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно, 
-равным нулю потенциал самой плоскости. Окончательно+<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$ $$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
 +</WRAP>
  
 Напряженность электрического поля на заряженной Напряженность электрического поля на заряженной
Строка 138: Строка 65:
 граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$ граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$
  
-в) Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать+==== в) ====  
 + 
 +Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать
 как суперпозицию двух полей: поля плоскости без как суперпозицию двух полей: поля плоскости без
 отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса
 $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$. $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$.
 Поэтому Поэтому
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}- E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}-
Строка 148: Строка 78:
 2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}. 2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 Распределение потенциала на оси отверстия Распределение потенциала на оси отверстия
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-\varphi=\int E_z\,dz+\const=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\const.+\varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 Константу  можно  выбрать  равной  нулю,  это  будет означать, что Константу  можно  выбрать  равной  нулю,  это  будет означать, что
 потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$. потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.