electrodynamics:res1.15

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.15 [2019/09/04 17:08] – rootelectrodynamics:res1.15 [2019/12/24 16:42] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического  поля: 
  
-=== а) ===+а) на оси $Z$  круглого тонкого диска радиуса  $R$;  
 + 
 +б) равномерно заряженной бесконечной плоскости;  
 + 
 +в) на оси $Z$  круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$. 
 + 
 +----- 
 + 
 +==== а) ====
 Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо
  
Строка 17: Строка 26:
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-(6) \hspace{10pt}  
 \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}
 =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big),
Строка 23: Строка 31:
 откуда откуда
 $$ $$
-(7) \hspace{10pt}  
 E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}= E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=
 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr). 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr).
Строка 29: Строка 36:
 </WRAP> </WRAP>
  
-=== б) === +==== б) ==== 
 + 
 Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает
 положение плоскости ($x, y$). положение плоскости ($x, y$).
Строка 37: Строка 45:
 если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического если ее заряд  отрицателен. Поэтому напряженность электрического
 поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно
-найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле (7) для поля,+найти предельным переходом при $R\to\infty$  в формуле для поля,
 создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
Строка 44: Строка 52:
  
  
-Заметим, что предельный переход  в  формуле (6) для потенциала +Заметим, что предельный переход  в  формуле для потенциала приводит  к  бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала   используем интеграл: 
-приводит  к  бесконечности. Это случай возникновения +$$ 
-трудности  с  применением  формулы  (4), о  котором говорилось +\varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z. 
-выше.  Распределение потенциала   находим, используя формулу (5):+$$ 
 +При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно,
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
-$$\varphi=-2\pi\sigma |z|+\text{const}.$$+$$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
 </WRAP> </WRAP>
- 
-Константу положим равной нулю. Это означает, что мы выбрали 
-равным нулю потенциал самой плоскости. Окончательно 
-$$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$ 
  
 Напряженность электрического поля на заряженной Напряженность электрического поля на заряженной
Строка 60: Строка 65:
 граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$ граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$
  
-=== в) === +==== в) ====  
 Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать
 как суперпозицию двух полей: поля плоскости без как суперпозицию двух полей: поля плоскости без