Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.19 [2019/09/03 15:51] – root
+++ electrodynamics:res1.19 [2019/12/24 16:45] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-а) $$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|};$$
+.19. Используя теорему Гаусса, найти:
-б) внутри конденсатора  $$\left| E \right| = \frac{4\pi q}{S},$$ вне $\vec E = 0$;
+а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$;
+б) поле плоского конденсатора;
+в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$.
+-----
+а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём
+$\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме.
+Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между "правым" "левым" направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно,
+$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\sigma \cdot S).$$
+Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости один и тот же поток (мы всегда можем рассмотреть верхние/нижние грани на одинаковом расстоянии от плоскости). Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать
+<WRAP center round box 60%>
+$$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$
+</WRAP>
+б) Поле внутри конденсатора и снаружи можно найти из предыдущего решения по суперпозиции, т.к. для конденсатора две обкладки имеют противоположный заряд, то поле внутри: <WRAP center round box 60%>
+$$\left|\vec E \right| = \frac{4\pi q}{S},$$
+</WRAP>
+а вне
+<WRAP center round box 60%>
+$$\vec E = 0.$$
+</WRAP>
+в) Рассмотрим поток поля от заряженной нити через поверхность цилиндра. Поток через основания цилиндра равно нулю так же из соображения симметрии, а через боковые поверхности:
+$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\pi r \cdot l) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\varkappa \cdot l).$$
+Так как поле будет иметь только радиальную компоненту, то
+<WRAP center round box 60%>
+$$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$
+</WRAP>
-в) $$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$