Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.27 [2019/09/13 10:42] – root
+++ electrodynamics:res1.27 [2020/09/19 18:26] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.27. Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$.
+-----
 {{:electrodynamics:выделение_048.jpg?direct&200 |}}
 Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда,
 находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга (как на рисунке). Потенциал такой системы в некоторой точке можно записать (по принципу суперпозиции) как
 \[
-\varphi   = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) = q\frac{{r_2  - r_1 }}{{r_1 r_2 }} .
+\varphi   = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) .
 \]
-Для вычисления этого выражения предположим, что
+Для вычисления этого выражения используем приближение $r_1, r_2  \gg a.$
-$r_1, r_2  \gg a.$
-Домножим числитель и знаменатель полученного выражения \(r_1+r_2\) и пренебрежем различиями между \(r_1\) и \(r_2\) в знаменателе
-\[
-\frac{{\left( {r_2  - r_1 } \right)\left( {r_2  + r_1 } \right)}}{{2r^3 }} = \frac{{r_2^2  - r_1^2 }}{{2r^3 }}.
-% = \frac{{2\vec r\vec a}}{{2r^3 }}
-\]
 Используя векторное соотношение, \(\vec a +\vec r_1=\vec r_2\), можно получить
+$$
+\frac 1{r_2}=\frac 1{\sqrt{(\vec r_2)^2}}=\frac 1{\sqrt{r_1^2+2(\vec r_1 \cdot \vec a) + a^2}}\approx \frac 1{r_1}\left( 1-\frac{(\vec r_1 \cdot \vec a)}{r_1^2}\right),
+$$
+тогда:
 <WRAP center round box 60%>
 \[
-\varphi = \frac{{\vec r\vec p}}{{r^3 }},
+\varphi = \frac{(\vec r\cdot \vec p)}{r^3},
 \]
 </WRAP>
-где \(\vec p=q\vec a\) и вектор $\vec{p}$, который называется дипольным моментом, направлен от $-q$ к $+q$.
+где $\vec r= \vec r_1\approx \vec r_2$ и  \(\vec p=q\vec a\). Вектор $\vec{p}$ --- дипольный момент, направлен от $-q$ к $+q$.
 /* Для системы зарядов потенциал электростатического поля вдали от области их размещения
 <WRAP center round box 60%>
@@ Строка 29: / Строка 31: @@
 где \(Q=\sum_i q_i\), \(\vec d = \sum {\vec{r}_i q_i }\), а \(\vec R\)  --- вектор из начала координат в точку, наблюдения. Начало координат выбрано где-то внутри системы зарядов. */
-Поле в точке \(\vec кr\)
+Поле в точке \(\vec r\)
 <WRAP center round box 60%>
 \[
-\vec E =  - \nabla \left( {\frac{{\vec r\vec p}}{{r^3 }}} \right) =  - \frac{{\vec p}}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( {\vec r\vec p} \right)}}{{r^5 }}
+\vec E =  - \nabla \left( {\frac{(\vec r\cdot \vec p)}{{r^3 }}} \right) =  - \frac{{\vec p}}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( \vec r\cdot \vec p \right)}}{{r^5 }}
 \]
 </WRAP>
-При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором \(\nabla\)
+При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором [[nabla|"набла" - \(\nabla\)]]
-\[
-\nabla r = \frac{\vec r}r,\;\;\; \nabla (ab)=a\nabla b+b\nabla a.
-\]