Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.29 [2019/09/13 11:45] – root
+++ electrodynamics:res1.29 [2022/09/17 20:10] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.29. Найти силу, действующую на диполь в слабонеоднородном электрическом поле. А если диполь квазиупругий (т.е. $\vec p \sim \vec E$)?
+-----
 В сила, действующая на диполь в неоднородном поле
 является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны
@@ Строка 21: / Строка 25: @@
 \vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
 Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и  учитывая,
-что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, $\vec{E}=\frac{Q}{R^3}\vec{R}$,  находим
+что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, находим
 выражение для силы, действующей на диполь
-со стороны точечного заряда:
+в слабонеоднородном поле:
 \begin{equation}
-(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
+(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}.
-q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
-P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
-P_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\,\frac{\vec{R}}{R^3}.
 \end{equation}
+Если диполь "жесткий", т.е. не зависит от величины поля $\vec E$, то выражение (2), с учётом правил обращения с оператором [[nabla|"набла" - \(\nabla\)]], можно записать в виде:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}={\nabla}(\vec{P} \vec{E})- \vec{P} \times \text{rot} \vec{E} ={\nabla}(\vec{P} \vec{E}).
+$$
+</WRAP>
+Последнее равенство получено с учётом рассмотрения стационарного случая $\text{rot} \vec{E} =0$.
+Если диполь "квазиупругий", тогда $\vec P$ зависит от величины поля $\vec E$ так, что $\vec P =\alpha \vec E$ то выражение (2) примет вид:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}=\frac 12 {\nabla}(\vec{P}\vec{E}),
+$$
+</WRAP>
+действительно:
+$$
+\nabla(\vec{P}\vec{E})=(\vec{P}\nabla)\vec{E}+\left[\vec{P}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\vec{P}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\vec{P}\right]=
+$$
+$$
+=(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+\left[\alpha\vec{E}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\alpha\vec{E}\right]=
+$$
+$$
+=(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}=2(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}=2(\vec{P}\nabla)\vec{E},
+$$
+где мы воспользовались условием $\text{rot }\vec{P}=\text{rot }\alpha\vec{E}=\alpha \ \text{rot }\vec{E}=0$.
+/*
+так как
+с одной стороны можем записать $(\vec{P} \vec{E})=\alpha  E^2$, а с другой при дифференцировании по одной переменной
+$$
+\alpha \frac{\partial (E_x^2+E_y^2+E_z^2)}{\partial x}=
+\alpha 2E_x\frac{\partial E_x}{\partial x}.
+$$
+*/