electrodynamics:res1.31

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.31 [2019/09/13 17:04] – rootelectrodynamics:res1.31 [2020/09/19 18:29] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.31. Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным
 +моментом $\vec{p}$, помещенного в начале координат. Нарисовать
 +примерный вид силовых линий.
 +
 +-----
 +
 +
 +Для силовых линий характерно, что в каждой точке малый участок $\vec {d\ell}$ проходят касательно к силовой линии $\vec E$. Это приводит к тому, что векторное произведение $[\vec d\ell \times \vec E]=0$ будет  нулевым. Это касается всех проекций. Тогда для $x$--овой компоненты $dy\cdot E_z - dz\cdot E_y=0$, следовательно
 +\[
 +\frac{{dy }}{{E_y }} = \frac{{dz }}{{E_z }}.
 +\]
 +Аналогично для остальных компонент. 
 +
 Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде
 \[ \[
Строка 10: Строка 23:
 В [[res1.27|задаче 1.27]] мы нашли поле диполя, распишем его компоненты:  В [[res1.27|задаче 1.27]] мы нашли поле диполя, распишем его компоненты: 
 \[ \[
-E_r  =  - \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta  + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta+E_r  = (\vec E\cdot \frac{\vec r}{r}) = 
 +- \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta  + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta,
 \] \]
 +где использовали $(\vec p\cdot \vec r) = pr\cos \theta .$
 +Компонента $E_\theta $ связана только с первым слагаемым:
 \[ \[
 E_\theta   = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta , E_\theta   = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta ,
 \] \]
 +для проекции $E_\theta$ мы выбрали знак "$-$", так как направление увеличения угла $\theta$ идёт против часовой стрелки и направлено в противоположную сторону от направления диполя $\vec p$.
 +Подставим, теперь, вычисленные значения $E_r, E_\theta $ в (1) 
 \[ \[
-\frac{{r^3 dr}}{{2p\cos \theta }} = \frac{{r^4 d\theta }}{{p\sin \theta }} .+\frac{{r^3 dr}}{{2p\cos \theta }} = \frac{{r^4 d\theta }}{{p\sin \theta }} 
 \] \]
-Подставим значения в (1) и произведём разделение переменных:+и произведём разделение переменных:
 \[ \[
 \frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}. \frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}.