Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.33 [2019/09/14 07:32] – root
+++ electrodynamics:res1.33 [2020/09/19 18:29] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-${\varphi_{\text{внутр}}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}r\cos\theta},{\vec{E}_{\text{внутр}}=-\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}\frac{{\vec{z}}}{{\left|z\right|}};}{\varphi_{\text{нар}}=\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}\frac{{R^{3}}}{{r^{2}}}\cos\theta},{\vec{E}_{\text{нар}}=-\frac{{\vec{p}}}{{r^{3}}}+\frac{{3\left({\vec{p}\vec{r}}\right)\vec{r}}}{{r^{5}}}},\text{где}{\vec{p}=\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}R^{3}\vec{e}_{z}.}$
+.33.
+Сфера радиуса $a$ заряжена по поверхности по закону
+$\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$. Найти потенциал и
+электрическое поле во всем пространстве.
+-----
 Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$
@@ Строка 59: / Строка 64: @@
 $$
 Окончательно запишем потенциал потенциал внутри сферы:
+<WRAP center round box 60%>
 $$
 \varphi_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0} r\cos\theta=\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{a^3}
 $$
+</WRAP>
 и снаружи сферы
+<WRAP center round box 60%>
 $$
-\varphi_{2}=\frac{4}{3}\frac{\pi\sigma_{0}a^{3}}{r^{2}}\cos\theta.
+\varphi_{2}=\frac{4}{3}\frac{\pi\sigma_{0}a^{3}}{r^{2}}\cos\theta
+=
+\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{r^3},
 $$
+</WRAP>
+где ввели вектор дипольного момента $\vec p=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3} \vec n$, направленный от отрицательного к положительному заряду сферы.
+Поле найдём взяв градиент от потенциала:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\vec E_1=-\nabla \varphi _1 = -\frac{\vec p}{a^3},
+$$
+</WRAP>
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\vec E_2=-\nabla \varphi _2 = -\frac{\vec p}{r^3}+\frac{3\vec r(\vec p \cdot \vec r)}{r^5}.
+$$
+</WRAP>