electrodynamics:res1.42

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.42 [2019/09/14 08:46] – rootelectrodynamics:res1.42 [2020/09/24 13:50] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.42. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от
 +следующих систем зарядов:
 +
 +а) заряды $q$, $-2q$, $q$ расположены на
 +оси $Z$ на расстоянии $a$ друг от друга (линейный
 +квадруполь);
 +
 +б) заряды  $\pm q$ расположены в вершинах квадрата, стороны
 +которого параллельны осям $X$ и $Y$, так что соседние заряды имеют
 +разные знаки, а в начале координат расположен заряд $+q$ (плоский квадруполь).
 +
 +-----
 +
 ==== a) ==== ==== a) ====
 Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак
Строка 15: Строка 28:
 где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат: где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат:
 \[ \[
-n_x  = \sin \theta \cos \varphi ,+n_x  = \sin \theta \cos \phi ,
 \] \]
 \[ \[
-n_y  = \sin \theta \sin \varphi ,+n_y  = \sin \theta \sin \phi ,
 \] \]
 \[ \[
Строка 42: Строка 55:
  
 ==== б) ==== ==== б) ====
 +Для вычисления определимся с координатами зарядов:
 +
 +^ № ^ $1$ ^ $2$ ^ $3$ ^ $4$ ^
 +^ $q$ | $q$ | $-q$ | $q$ | $-q$ |
 +^ $x$ | $0$ | $0$ | $a$ | $a$ |
 +^ $y$ | $0$ | $a$ | $a$ | $0$ |
 +^ $z$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
 +
 +Вычислим момент
 \[ \[
-D_{xx}  = \sum {q_i \left( {3x_i^2  - r_i^2 } \right)}  = 0+D_{xx}  = \sum {q_i \left( {3x_i^2  - r_i^2 } \right)}  =
 \] \]
-\[ +$$ 
-D_{yy}  = 0 +q \cdot 0 - q  \cdot (0 - a^2) + q \cdot (3a^2 - (\sqrt{2} a)^2 ) - q\cdot  
-\] +(3 a^2 - a^2) = 0. 
-\[+$$ 
 +Из симметрии $D_{yy}  = 0$. Так как след матрицы $D_{ij}$ равен нулю, т.е. $0=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}$ следует, что   
 +$
 D_{zz}  = 0 D_{zz}  = 0
-\]+$. 
 +Вычислим, теперь
 \[ \[
-D_{xy}  = \frac{{3q^{(1)} a^2 }}{4} + \frac{{3q^{(2)} a^2 }}{4} + \frac{{3qa^2 }}{4} + \frac{{3qa^2 }}{4} = 3qa^2+D_{xy}  = 3(q \cdot 0 \cdot 0 -q\cdot 0 \cdot a + q\cdot a \cdot a - q\cdot a \cdot 0 ) = 3qa^2.
 \] \]
 +Из симметрии:
 \[ \[
-D_{yx}  = D_{xy}  = 3qa^2+D_{yx}  = D_{xy}  = 3qa^2.
 \] \]
 +Запишем, теперь, потенциал:
 +<WRAP center round box 60%>
 \[ \[
-\phi ^{(2)}  = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\left\{ {n_x n_y  + n_y n_x } \right\} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\sin ^2 \theta \sin 2\phi+\varphi  = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\left\{ {n_x n_y  + n_y n_x } \right\} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\sin ^2 \theta \sin 2\phi
 \] \]
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +</WRAP>
-а) $ \varphi \left( {r,\theta } \right) \simeq \frac{{qa^2 }}{{r^3 +
-}}\left( {3\cos ^2 \theta  - 1} \right);$ б) $ \varphi \left( +
-{r,\theta } \right) \simeq \frac{{3qa^2 }}{{2r^3 }}\sin ^2 \theta +
-\sin 2\alpha.$+