Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.43 [2019/09/16 12:09] – создано root
+++ electrodynamics:res1.43 [2020/09/24 13:50] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-\frac{dr}{E_{r}}=\frac{rd\theta}{E_{\theta}}
+.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий.
-\varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)
+-----
-E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)
+Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде
+\[
+\frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }}
+\]
+Используя [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Криволинейная_система_координат#Коэффициенты_Ламе|коэффициенты Ламе]] для сферической системы координат
+\(h_r  = 1\), \(h_\theta   = r\), \(h_\phi   = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем:
+\[
+(1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta  }}
+\]
+В [[res1.42|задаче 1.42]] мы нашли потенциал линейного квадруполя:
+$$
+\varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right),
+$$
+найдём, теперь, компоненты электрического поля:
+$$
+E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right),
+$$
+$$
+E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta.
+$$
+Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению:
+$$
+\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}.
+$$
+Проинтегрируем:
+$$
+\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1},
+$$
+$$
+\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}.
+$$
+Таким образом интеграл от правой части:
+$$
+\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1},
+$$
+где мы переопределили константу.
-E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta
+Интеграл от левой части:
+$$
+\int2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3}
+.
+$$
+Приравнивая и потенцируя, придём к уравнению
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|},
+$$
-\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}
+</WRAP>
+описывающему силовые линии.
-\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}
-\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}
-\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}
-\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3}
-r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}