Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| electrodynamics:res1.43 [2019/09/16 12:23] – root | electrodynamics:res1.43 [2020/09/24 13:50] (текущий) – root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | 1.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий. | ||
| + | |||
| + | ----- | ||
| + | |||
| Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде | Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде | ||
| \[ | \[ | ||
| Строка 21: | Строка 25: | ||
| Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению: | Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | 2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}/ | + | 2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}. |
| $$ | $$ | ||
| + | Проинтегрируем: | ||
| + | $$ | ||
| + | \int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}, | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}. | ||
| + | $$ | ||
| + | Таким образом интеграл от правой части: | ||
| + | $$ | ||
| + | 3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C' | ||
| + | $$ | ||
| + | где мы переопределили константу. | ||
| - | $\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}$ | + | Интеграл от левой части: |
| - | + | $$ | |
| - | $\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}$ | + | \int2\frac{dr}{r}=2\ln |
| - | + | . | |
| - | $3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C' | + | $$ |
| - | + | Приравнивая и потенцируя, | |
| - | $2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3}$ | + | <WRAP center round box 60%> |
| + | $$ | ||
| + | r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}, | ||
| + | $$ | ||
| - | $r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}$ | + | </ |
| + | описывающему силовые линии. | ||