Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.44 [2019/09/16 13:55] – root
+++ electrodynamics:res1.44 [2023/09/22 08:29] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-$$\frac{1}{\sqrt{(x-b)^2+y^2}}\approx \frac{1}{r}+\frac{xb}{r^{3}}+\frac{\left(-r^{2}+3x^{2}\right)b^{2}}{2r^{5}}+\frac{\left(-3r^{2}+5x^{2}\right)xb^{3}}{2r^{7}}+O(b^4)$$
+.44. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от линейного октуполя.
+{{:electrodynamics:выделение_051.jpg?direct&200|}}
+-----
+Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$ по оси Z, тогда для линейного октуполя отсутствует зависимость потенциала от угла $\phi$. Разложим выражение $\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$, где $r^2=x^2+y^2$, в [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора|ряд Тейлора]] по малому параметру $b \ll z$:
 $$
-\frac{a^{3}x\left(5x^{2}-3r^{2}\right)}{r^{7}}
+\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4).
 $$
+В линейном октуполе, как легко увидеть, суммарный заряд и дипольный момент равны нулю. Чуть сложнее убедиться, что и [[t06|квадрупольный момент,]] так же равен нулю
 $$
-\frac{a^{3}\cos\theta\left(5\cos^{2}\theta-3\right)}{r^{5}}
+D_{zz}=D_{xx}=D_{yy}=D_{xy}=D_{xz}=0,
 $$
+следовательно, в сумме
+$$
+\varphi = \frac{-q}{\sqrt{z^2+r^2}}+\frac{3q}{\sqrt{(z-a)^2+r^2}}-\frac{3q}{\sqrt{(z-2a)^2+r^2}}+\frac{q}{\sqrt{(z-3a)^2+r^2}}
+$$
+после подстановки разложения в ряд нужно обращать только на члены содержащие $(\frac aR)^3$, так как члены не содержащие $a$ входят в суммарный заряд, члены с $\frac aR$ входят в дипольный момент, а с $(\frac aR)^2$ --- квадрупольный. Тогда после подстановки:
+$$
+\varphi \approx 3\frac{qa^{3}z\left(5z^{2}-3R^{2}\right)}{R^{7}}.
+$$
+Заменив $z=R\cos\theta$ придём к окончательному резульату:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\varphi = 3\frac{qa^{3}\cos\theta\left(5\cos^{2}\theta-3\right)}{R^{4}}.
+$$
+</WRAP>