electrodynamics:res1.44

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.44 [2019/09/17 07:00] – rootelectrodynamics:res1.44 [2023/09/22 08:29] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$ по оси Z, тогда для линейного октуполя будет отсутствовать зависимость потенциала от угла $\phi$. Разложим выражение $\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$ по малому параметру $b \ll z$:+1.44. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от линейного октуполя.  
 +{{:electrodynamics:выделение_051.jpg?direct&200|}} 
 + 
 +----- 
 + 
 +Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$ по оси Z, тогда для линейного октуполя отсутствует зависимость потенциала от угла $\phi$. Разложим выражение $\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$, где $r^2=x^2+y^2$, в [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора|ряд Тейлора]] по малому параметру $b \ll z$:
 $$ $$
 \frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4). \frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4).
 $$ $$
 +В линейном октуполе, как легко увидеть, суммарный заряд и дипольный момент равны нулю. Чуть сложнее убедиться, что и [[t06|квадрупольный момент,]] так же равен нулю 
 $$ $$
-3\frac{a^{3}z\left(5z^{2}-3R^{2}\right)}{R^{7}}+D_{zz}=D_{xx}=D_{yy}=D_{xy}=D_{xz}=0,
 $$ $$
 +следовательно, в сумме
 $$ $$
-3\frac{a^{3}\cos\theta\left(5\cos^{2}\theta-3\right)}{R^{4}}+\varphi = \frac{-q}{\sqrt{z^2+r^2}}+\frac{3q}{\sqrt{(z-a)^2+r^2}}-\frac{3q}{\sqrt{(z-2a)^2+r^2}}+\frac{q}{\sqrt{(z-3a)^2+r^2}}
 $$ $$
 +после подстановки разложения в ряд нужно обращать только на члены содержащие $(\frac aR)^3$, так как члены не содержащие $a$ входят в суммарный заряд, члены с $\frac aR$ входят в дипольный момент, а с $(\frac aR)^2$ --- квадрупольный. Тогда после подстановки:
 +$$
 +\varphi \approx 3\frac{qa^{3}z\left(5z^{2}-3R^{2}\right)}{R^{7}}.
 +$$
 +Заменив $z=R\cos\theta$ придём к окончательному резульату:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\varphi = 3\frac{qa^{3}\cos\theta\left(5\cos^{2}\theta-3\right)}{R^{4}}.
 +$$
 +
 +</WRAP>