electrodynamics:res1.49

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.49 [2019/09/11 15:58] – rootelectrodynamics:res1.49 [2019/12/24 17:04] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
- Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа+1.49. Плоскость $z=0$  заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y} 
 +\right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin 
 +\left( {\beta y} \right)$, где $\sigma_0,\alpha,\beta$ -- 
 +постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов. 
 + 
 +----- 
 + 
 +Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа
 \begin{equation} \begin{equation}
  \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+  \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+
Строка 14: Строка 21:
  $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения Лапласа в виде  $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения Лапласа в виде
 \begin{equation} \begin{equation}
- \varphi(x,y,z)=f_1(x)\cdot f_2(y)\cdot f_3(z).+ \varphi(x,y,z)=\sin\alpha x \cdot \sin\beta y\cdot f_3(z).
 \end{equation} \end{equation}
  Подставим  функцию $\varphi(x,y,z)$ в уравнение Лапласа и поделим каждое  Подставим  функцию $\varphi(x,y,z)$ в уравнение Лапласа и поделим каждое
Строка 20: Строка 27:
 \begin{equation} \begin{equation}
  \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=  \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=
- -\biggl(\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}+ + -\biggl(\frac{(\sin\alpha x)''}{\sin\alpha x}+ \frac{(\sin\beta y)''}{\sin\beta y}\biggr).
- \frac{f''_2(y)}{f_2(y)}\biggr).+
 \end{equation} \end{equation}
 Чтобы это уравнение удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$, Чтобы это уравнение удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$,
-нужно приравнять каждое слагаемое равнялось константе. Пусть +нужно приравнять каждое слагаемое константе. Пусть 
-$$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=-\gamma^2.$$+$$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=\gamma^2=\alpha ^2 + \beta ^2.$$
  
 Общим решением этого уравнения является функция Общим решением этого уравнения является функция
Строка 36: Строка 42:
 $$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$ $$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$
  
-Пусть+Тогда: /*
 $$\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}=-\gamma_1^2\,,\;\;\; $$\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}=-\gamma_1^2\,,\;\;\;
  \frac{f''_2(y))}{f_2(y)}=-\gamma_2^2\,,\;\;\;  \frac{f''_2(y))}{f_2(y)}=-\gamma_2^2\,,\;\;\;
Строка 44: Строка 50:
 $$f_1(x)=\sin\alpha x\,,\quad \alpha^2=\gamma_1^2\,;\quad $$f_1(x)=\sin\alpha x\,,\quad \alpha^2=\gamma_1^2\,;\quad
  f_2(y)=\sin\beta y\,,\quad \gamma_2^2=\beta^2;$$  f_2(y)=\sin\beta y\,,\quad \gamma_2^2=\beta^2;$$
-значит,  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.  Итак,+значит,  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.  Итак, */
 $$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$ $$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$
  
Строка 54: Строка 60:
 $$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$ $$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$
  
-Подставляя эти выражения в уравнение (2), найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$.+Подставляя эти выражения в уравнение $E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma$, найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$.
  
 Окончательно распределение потенциала будет иметь вид Окончательно распределение потенциала будет иметь вид
-$$\varphi(x, y, z)=\frac{2\sigma_0}{\gamma} +<WRAP center round box 60%> 
-        \,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$ +$$ 
-где  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.+\varphi(x, y, z)=\frac{2\sigma_0}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} 
 +\,e^{\textstyle -\sqrt{\alpha^2+\beta^2}|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y. 
 +$$ 
 + 
 +</WRAP>