Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.51 [2019/09/27 11:28] – root
+++ electrodynamics:res1.51 [2020/09/24 17:34] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.51. Незаряженный металлический шар радиуса $a$ вносится в
+электрическое поле, которое при отсутствии шара было однородным и равным $\vec{E}_0$. Определить результирующее поле и плотность поверхностных зарядов на шаре. Что изменится, если заменить шар цилиндром, ось которого перпендикулярна полю?
+-----
 ==== а) ====
 Начало сферической системы координат
@@ Строка 6: / Строка 12: @@
 то напряженность поля внутри шара равна нулю.
-Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$
+Рассмотрим две области: внутри и снаружи шара. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$
 Запишем уравнение в сферических координатах:
@@ Строка 14: / Строка 20: @@
 Так как зависимости от угла $\alpha $ нет, то третье слагаемое будет нулевым.
-Так как влияние от внесённой металлической сферы на больших расстояниях будет стремиться к нулю, то вдали от сферы поле по прежнему будет однородным, а в сферических координатах стремиться к виду $E_r=E_0 \cdot \cos \theta$, $E_{\theta}=E_0 \cdot \sin \theta$.
+Так как влияние от внесённого металлического шара на больших расстояниях будет стремиться к нулю, то вдали от шара поле по прежнему будет однородным, а в сферических координатах стремиться к виду $E_r=E_0 \cdot \cos \theta$, $E_{\theta}=E_0 \cdot \sin \theta$.
 Тогда искать зависимость потенциала от угла будем в виде
 $$
@@ Строка 38: / Строка 44: @@
 $$
-Потенциал внутри сферы постоянный --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи
+Потенциал шара константа --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи
 $$
 \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta.
 $$
-и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$ Определив константу равную нулю --- потенциал на сфере, определим и вторую константу:
+и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$
+На границе шара тангенциальная составляющая поля равна нулю:
-Из непрерывности потенциала на границе получим соотношение:
+$$
+E_\theta=-\frac{\partial \varphi_{2}}{r\partial \theta}=
+(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\sin\theta = 0.
+$$
+Равенство нулю выполняется при произвольном $\theta $, следовательно:
 $$
 E_0\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
 $$
-Следовательно, потенциал можно представить в
+Итак, потенциал можно представить в
 виде:
 $$\varphi =-E_0r\cos\theta+\frac{E_0a^3\cos\theta}{r^2}\;
@@ Строка 154: / Строка 164: @@
 ==== б) ====
-Рассмотрим теперь бесконечный цилиндр радиуса a. Рассмотрим задачу в цилиндрической системе координат с осью Z направленной перепендикулярной первоначального поля \vec{E}_{0}. Поскольку цилиндр металлический, то напряженность поля внутри равна нулю.
+Рассмотрим теперь бесконечный цилиндр радиуса $a$. Рассмотрим задачу
+в цилиндрической системе координат с осью $Z$ направленной перепендикулярной
+первоначального поля $\vec{E}_{0}$. Поскольку цилиндр металлический,
+то напряженность поля внутри равна нулю.
-Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: \Delta\varphi=0.
+Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях
+нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $\Delta\varphi=0.$
-Запишем уравнение в цилиндрических координатах: \Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\alpha^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}=0.
+Запишем уравнение в цилиндрических координатах:
+\[
+\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\alpha^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}=0.
+\]
-Так как зависимости от оси z нет, то третье слагаемое будет нулевым.
+Так как зависимости от оси $z$ нет, то третье слагаемое будет нулевым.
-Так как влияние от внесённого металлического цилиндра на больших расстояниях будет стремиться к нулю, то вдали от него поле по прежнему будет однородным, а в цилиндрических координатах стремиться к виду E_{r}=E_{0}\cdot\cos\alpha, E_{\alpha}=E_{0}\cdot\sin\alpha. Тогда искать зависимость потенциала от угла будем в виде \varphi=R(r)\cos\theta.Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим: \Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta-\frac{R\cos\theta}{r^{2}}=0.Сокращая, придём к уравнению r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)=R.Решение данного уравнения будем искать в виде: R=Ar^{n} и подставив его придём к алгебраическому уравнению n^{2}=1, которое имеет два решения: n=\{1;-1\}. Общее решение запишется в виде: R(r)=A\cdot r+\frac{B}{r}.
+Так как влияние от внесённого металлического цилиндра на больших расстояниях
+будет стремиться к нулю, то вдали от него поле по прежнему будет однородным,
+а в цилиндрических координатах стремиться к виду $E_{r}=E_{0}\cdot\cos\alpha$,
+$E_{\alpha}=E_{0}\cdot\sin\alpha$. Тогда искать зависимость потенциала
+от угла будем в виде
+\[
+\varphi=R(r)\cos\alpha.
+\]
+Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим:
+\[
+\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\alpha-\frac{R\cos\alpha}{r^{2}}=0.
+\]
+Сокращая, придём к уравнению
+\[
+r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)=R.
+\]
+Решение данного уравнения будем искать в виде: $R=Ar^{n}$ и подставив
+его придём к алгебраическому уравнению $n^{2}=1,$ которое имеет два
+решения: $n=\{1;-1\}$. Общее решение запишется в виде:
+\[
+R(r)=A\cdot r+\frac{B}{r}.
+\]
-Потенциал внутри цилиндра постоянный — \varphi_{1}=\text{const}, это возможно при A_{1}=B_{1}=0, снаружи \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\theta.и при r\to\infty приводит к постоянному полю \varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\theta, следовательно, A_{2}=-E_{0}.
+Потенциал снаружи
+\[
+\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\alpha.
+\]
+и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю $\varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\alpha$,
+следовательно, $A_{2}=-E_{0}.$
-Из непрерывности потенциала на границе и из равенства нулю тангенциально составляющей поля E_{\alpha} получим: E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.Следовательно, потенциал: \varphi=-E_{0}r\cos\theta+\frac{E_{0}a^{3}\cos\theta}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.\varphi=0\qquad\mbox{при}\qquad r\leq a.Найдем напряженность электрического поля \vec{E}=-\nabla\varphi. Использовав оператор \nabla, запишем \vec{E}=-(\nabla\varphi)=\vec{E}_{0}-\frac{a^{2}}{r^{2}}\nabla(\vec{E}_{0}\vec{r})-a^{2}(\vec{E}_{0}\vec{r})\nabla\biggl(\frac{1}{r^{2}}\biggr).
+Как и в предыдущем случае с шаром, из равенстве нулю на границе шара тангенциальной составляющей поля $E_{\alpha }=0$:
+\[
+E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
+\]
+Следовательно, потенциал:
+\[
+\varphi=-E_{0}r\cos\alpha+\frac{E_{0}a^{3}\cos\alpha}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.
+\]
+\[
+\varphi=0\qquad\mbox{при}\qquad r\leq a.
+\]
+Найдем напряженность электрического поля $\vec{E}=-\nabla\varphi$.
+Использовав оператор $\nabla$, запишем
+\[
+\vec{E}=-(\nabla\varphi)=\vec{E}_{0}-\frac{a^{2}}{r^{2}}\nabla(\vec{E}_{0}\vec{r})-a^{2}(\vec{E}_{0}\vec{r})\nabla\biggl(\frac{1}{r^{2}}\biggr).
+\]
-Окончательно для вектора напряженности электрического поля получаем выражение \vec{E}=\left\{ \begin{array}{ll}
+Окончательно для вектора напряженности электрического поля получаем
+выражение
+\[
+\vec{E}=\left\{ \begin{array}{ll}
 \vec{E}_{0}+{\displaystyle \frac{2(\vec{d}\vec{r})\vec{r}}{r^{4}}-{\displaystyle \frac{\vec{d}}{r^{2}}}} & \qquad\mbox{при}\qquad r>a,\\
 & \qquad\mbox{при}\qquad r<a,
-\end{array}\right.где \vec{d}=\vec{E}_{0}a^{2} — дипольный момент, приобретаемый цилиндром в однородном электрическом поле \vec{E}_{0}.
+\end{array}\right.
+\]
+где $\vec{d}=\vec{E}_{0}a^{2}$ --- дипольный момент, приобретаемый
+цилиндром в однородном электрическом поле $\vec{E}_{0}$.
-Поверхностная плотность индуцированных зарядов \sigma(\theta)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\theta.
+Поверхностная плотность индуцированных зарядов
+\[
+\sigma(\alpha)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\alpha.
+\]