electrodynamics:res1.51

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.51 [2019/09/27 11:30] – [б)] rootelectrodynamics:res1.51 [2020/09/24 17:34] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.51. Незаряженный металлический шар радиуса $a$ вносится в
 +электрическое поле, которое при отсутствии шара было однородным и равным $\vec{E}_0$. Определить результирующее поле и плотность поверхностных зарядов на шаре. Что изменится, если заменить шар цилиндром, ось которого перпендикулярна полю?
 +
 +-----
 +
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Начало сферической системы координат Начало сферической системы координат
Строка 6: Строка 12:
 то напряженность поля внутри шара равна нулю. то напряженность поля внутри шара равна нулю.
  
-Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$+Рассмотрим две области: внутри и снаружи шара. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$
  
 Запишем уравнение в сферических координатах:  Запишем уравнение в сферических координатах: 
Строка 14: Строка 20:
 Так как зависимости от угла $\alpha $ нет, то третье слагаемое будет нулевым.  Так как зависимости от угла $\alpha $ нет, то третье слагаемое будет нулевым. 
  
-Так как влияние от внесённой металлической сферы на больших расстояниях будет стремиться к нулю, то вдали от сферы поле по прежнему будет однородным, а в сферических координатах стремиться к виду $E_r=E_0 \cdot \cos \theta$, $E_{\theta}=E_0 \cdot \sin \theta$.+Так как влияние от внесённого металлического шара на больших расстояниях будет стремиться к нулю, то вдали от шара поле по прежнему будет однородным, а в сферических координатах стремиться к виду $E_r=E_0 \cdot \cos \theta$, $E_{\theta}=E_0 \cdot \sin \theta$.
 Тогда искать зависимость потенциала от угла будем в виде  Тогда искать зависимость потенциала от угла будем в виде 
 $$ $$
Строка 38: Строка 44:
 $$ $$
  
-Потенциал внутри сферы постоянный --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи+Потенциал шара константа --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи
 $$ $$
 \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta. \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta.
 $$ $$
-и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$ Определив константу равную нулю --- потенциал на сфере, определим и вторую константу: +и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$  
- +На границе шара тангенциальная составляющая поля равна нулю:  
-Из непрерывности потенциала на границе получим соотношение: +$$ 
 +E_\theta=-\frac{\partial \varphi_{2}}{r\partial \theta}= 
 +(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\sin\theta = 0. 
 +$$ 
 +Равенство нулю выполняется при произвольном $\theta $, следовательно: 
 $$ $$
 E_0\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. E_0\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
 $$ $$
-Следовательно, потенциал можно представить в+Итак, потенциал можно представить в
 виде: виде:
 $$\varphi =-E_0r\cos\theta+\frac{E_0a^3\cos\theta}{r^2}\; $$\varphi =-E_0r\cos\theta+\frac{E_0a^3\cos\theta}{r^2}\;
Строка 175: Строка 185:
 от угла будем в виде  от угла будем в виде 
 \[ \[
-\varphi=R(r)\cos\theta.+\varphi=R(r)\cos\alpha.
 \] \]
 Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим: Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим:
 \[ \[
-\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta-\frac{R\cos\theta}{r^{2}}=0.+\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\alpha-\frac{R\cos\alpha}{r^{2}}=0.
 \] \]
 Сокращая, придём к уравнению  Сокращая, придём к уравнению 
Строка 192: Строка 202:
 \] \]
  
-Потенциал внутри цилиндра постоянный \textemdash{} $\varphi_{1}=\text{const}$, +Потенциал снаружи 
-это возможно при $A_{1}=B_{1}=0,$ снаружи +
 \[ \[
-\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\theta.+\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\alpha.
 \] \]
-и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю $\varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\theta$,+и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю $\varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\alpha$,
 следовательно, $A_{2}=-E_{0}.$  следовательно, $A_{2}=-E_{0}.$ 
  
-Из непрерывности потенциала на границе и из равенства нулю тангенциально +Как и в предыдущем случае с шаром, из равенстве нулю на границе шара тангенциальной составляющей поля $E_{\alpha }=0$: 
-составляющей поля $E_{\alpha}$ получим: +
 \[ \[
 E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
Строка 207: Строка 215:
 Следовательно, потенциал:  Следовательно, потенциал: 
 \[ \[
-\varphi=-E_{0}r\cos\theta+\frac{E_{0}a^{3}\cos\theta}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.+\varphi=-E_{0}r\cos\alpha+\frac{E_{0}a^{3}\cos\alpha}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.
 \] \]
 \[ \[
Строка 226: Строка 234:
 \end{array}\right. \end{array}\right.
 \] \]
-где $\vec{d}=\vec{E}_{0}a^{2}$ \textemdash{} дипольный момент, приобретаемый+где $\vec{d}=\vec{E}_{0}a^{2}$ --- дипольный момент, приобретаемый
 цилиндром в однородном электрическом поле $\vec{E}_{0}$. цилиндром в однородном электрическом поле $\vec{E}_{0}$.
  
 Поверхностная плотность индуцированных зарядов  Поверхностная плотность индуцированных зарядов 
 \[ \[
-\sigma(\theta)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\theta.+\sigma(\alpha)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\alpha.
 \] \]