electrodynamics:res1.51

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.51 [2019/09/28 08:32] – rootelectrodynamics:res1.51 [2020/09/24 17:34] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.51. Незаряженный металлический шар радиуса $a$ вносится в
 +электрическое поле, которое при отсутствии шара было однородным и равным $\vec{E}_0$. Определить результирующее поле и плотность поверхностных зарядов на шаре. Что изменится, если заменить шар цилиндром, ось которого перпендикулярна полю?
 +
 +-----
 +
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Начало сферической системы координат Начало сферической системы координат
Строка 38: Строка 44:
 $$ $$
  
-Потенциал внутри шара постоянный --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи+Потенциал шара константа --- $\varphi_{1}=\text{const}$, а снаружи
 $$ $$
 \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta. \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta.
 $$ $$
-и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$ Определив константу равную нулю --- потенциал на шаре, определим и вторую константу: +и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю, следовательно, $A_{2}=-E_0.$  
- +На границе шара тангенциальная составляющая поля равна нулю:  
-Из непрерывности потенциала на границе получим соотношение: +$$ 
 +E_\theta=-\frac{\partial \varphi_{2}}{r\partial \theta}= 
 +(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\sin\theta = 0. 
 +$$ 
 +Равенство нулю выполняется при произвольном $\theta $, следовательно: 
 $$ $$
 E_0\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. E_0\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
 $$ $$
-Следовательно, потенциал можно представить в+Итак, потенциал можно представить в
 виде: виде:
 $$\varphi =-E_0r\cos\theta+\frac{E_0a^3\cos\theta}{r^2}\; $$\varphi =-E_0r\cos\theta+\frac{E_0a^3\cos\theta}{r^2}\;
Строка 175: Строка 185:
 от угла будем в виде  от угла будем в виде 
 \[ \[
-\varphi=R(r)\cos\theta.+\varphi=R(r)\cos\alpha.
 \] \]
 Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим: Подставим потенциал в уравнение Лапласа и продифференцировав получим:
 \[ \[
-\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta-\frac{R\cos\theta}{r^{2}}=0.+\Delta\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\alpha-\frac{R\cos\alpha}{r^{2}}=0.
 \] \]
 Сокращая, придём к уравнению  Сокращая, придём к уравнению 
Строка 192: Строка 202:
 \] \]
  
-Потенциал внутри цилиндра постоянный ---  +Потенциал снаружи 
-$\varphi_{1}=\text{const}$, +
-это возможно при $A_{1}=B_{1}=0,$ снаружи +
 \[ \[
-\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\theta.+\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r})\cos\alpha.
 \] \]
-и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю $\varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\theta$,+и при $r\to\infty$ приводит к постоянному полю $\varphi_{2}=-E_{0}\cdot r\cdot\cos\alpha$,
 следовательно, $A_{2}=-E_{0}.$  следовательно, $A_{2}=-E_{0}.$ 
  
-Из непрерывности потенциала на границе и из равенства нулю тангенциально +Как и в предыдущем случае с шаром, из равенстве нулю на границе шара тангенциальной составляющей поля $E_{\alpha }=0$: 
-составляющей поля $E_{\alpha}$ получим: +
 \[ \[
 E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. E_{0}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}.
Строка 208: Строка 215:
 Следовательно, потенциал:  Следовательно, потенциал: 
 \[ \[
-\varphi=-E_{0}r\cos\theta+\frac{E_{0}a^{3}\cos\theta}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.+\varphi=-E_{0}r\cos\alpha+\frac{E_{0}a^{3}\cos\alpha}{r^{2}}\;\mbox{при}\;r\geq a.
 \] \]
 \[ \[
Строка 232: Строка 239:
 Поверхностная плотность индуцированных зарядов  Поверхностная плотность индуцированных зарядов 
 \[ \[
-\sigma(\theta)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\theta.+\sigma(\alpha)=\frac{1}{4\pi}E_{r}\bigg|_{r=a}=\frac{E_{0}}{2\pi}\cos\alpha.
 \] \]