Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.11 [2019/09/27 11:53] – создано root
+++ electrodynamics:res2.11 [2020/10/06 11:53] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Разделив диэлектрик внутри конденсатора на тонкие пластинки и считая каждую такую пластинку толщиной \(\Delta x\) плоским конденсатором с однородным диэлектриком, мы можем записать емкость такого конденсатора
+.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ --- расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого
+конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$.
+-----
+Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение
 \[
-{\Delta C}=\frac{\varepsilon S}{4\pi \Delta x}.
+\text{div}\vec D = 4\pi \rho_\text{своб}=0.
 \]
-Как известно, полная емкость последовательно соединенных конденсаторов тогда равна
+Так как в задаче мы пренебрегаем краевыми эффектами, то все величины зависят в ней только от \(x\), а компоненты поля \(\vec E\;\; \text{и}\;\;\vec D\) имеют только \(x\)-компоненту, мы далее будем писать только \(E\;\; \text{и}\;\;D \).
+Из приведенного выше уравнения следует, что \(D= const \). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик
 \[
-\frac{1}{C}=\sum{\frac{1}{\Delta C}},
+D_{2n}-D_{1n} =4\pi \sigma_{\text{своб}}
 \]
-или записывая это для бесконечно тонких пластин и заменяя суммирование на интегрирование, получим
+для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{1n}=0\), получаем
- \[
-\begin{split}
- \frac{1}{C} &=\int {\frac{4\pi dx}{\varepsilon S}} =\frac{4\pi a}{S\varepsilon _0 }\int\limits_0^a {\frac{dx}{\left( {x + a} \right)}}  =
-  \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln \left. {\left( {x + a} \right)} \right|_0^a  = \\
-    &= \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\left\{ \ln (2a) - \ln (a) \right\} = \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln 2,
-\end{split}
-\]
-следовательно
-\[
-C = \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}.
-\]
-Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение
-\[
-\Div \vec D = 4\pi \rho_\text{своб}=0.
-\]
-Так как в задаче мы пренебрегаем краевыми эффектами, то все величины зависят в ней только от \(x\), а компоненты поля \(\vec E\;\; \text{и}\;\;\vec D\) имеют только \(x\)-компоненту, мы далее будем писать только \(E\;\; \text{и}\;\;D \).
-Из приведенного выше уравнения следует, что \(D=\const\). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик
 \[
-D_{1n}-D_{2n} =4\pi \sigma_{\text{своб}}
+D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=\frac{4\pi Q}S,
 \]
-для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{2n}=0\), получаем
+откуда
 \[
-D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=4\pi Q/S=4\pi C U/S=\frac{U\varepsilon_0}{a \ln 2}.
+E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S(x+a)}.
 \]
-Откуда получаем
+Для того чтобы получить напряжение на конденсаторе необходимо проинтегрировать поле $E$:
+$$
+U =\int \limits_0^a E dx
+=\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S(x+a)} dx =
+\frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}}  =
+$$
+$$
+\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \ln \Bigl. {\left( {x + a} \right)} \Bigr|_0^a  =
+\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \left( \ln (2a) - \ln (a) \right) = \frac{4\pi Q a \ln 2}{\varepsilon_0 S}.
+$$
+Теперь вычислим ёмкость конденсатора:
 \[
-E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{U}{(x+a)\ln 2 }
+C = \frac QU= \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}.
 \]
 Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением
 \[
-\Div E=4\pi \rho_\text{связ},
+\text{div} E=4\pi \rho_\text{связ},
 \]
 откуда