Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.11 [2019/09/29 18:14] – root
+++ electrodynamics:res2.11 [2020/10/06 11:53] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Разделив диэлектрик внутри конденсатора на тонкие пластинки и считая каждую такую пластинку толщиной \(\Delta x\) плоским конденсатором с однородным диэлектриком, мы можем записать емкость такого конденсатора
+.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ --- расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого
-\[
+конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$.
-{\Delta C}=\frac{\varepsilon S}{4\pi \Delta x}.
-\]
-Как известно, полная емкость последовательно соединенных конденсаторов тогда равна
-\[
-\frac{1}{C}=\sum{\frac{1}{\Delta C}},
-\]
-или записывая это для бесконечно тонких пластин и заменяя суммирование на интегрирование, получим
-следовательно
+-----
-\[
-C = \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}.
-\]
 Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение
@@ Строка 29: / Строка 19: @@
 откуда
 \[
-E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a S}{\varepsilon_0 (x+a)}.
+E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S(x+a)}.
 \]
 Для того чтобы получить напряжение на конденсаторе необходимо проинтегрировать поле $E$:
- \[
+$$
-\begin{split}
+U =\int \limits_0^a E dx
-U &=\int \limits_0^a E dx
+=\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S(x+a)} dx =
-=\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a S}{\varepsilon_0 (x+a)} dx =\frac{4\pi Q a S}{\varepsilon_0}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}}  =
+\frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}}  =
-  \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln \left. {\left( {x + a} \right)} \right|_0^a  = \\
+$$
-    &= \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\left\{ \ln (2a) - \ln (a) \right\} = \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln 2,
+$$
-\end{split}
+\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \ln \Bigl. {\left( {x + a} \right)} \Bigr|_0^a  =
+\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \left( \ln (2a) - \ln (a) \right) = \frac{4\pi Q a \ln 2}{\varepsilon_0 S}.
+$$
+Теперь вычислим ёмкость конденсатора:
+\[
+C = \frac QU= \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}.
 \]
 Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением
 \[
-\Div E=4\pi \rho_\text{связ},
+\text{div} E=4\pi \rho_\text{связ},
 \]
 откуда