electrodynamics:res2.27

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.27 [2019/10/02 17:31] – [а) Сфера заземлена. Заряд вне сферы.] rootelectrodynamics:res2.27 [2019/10/22 05:44] (текущий) – root
Строка 9: Строка 9:
 Если заряд $q$  расположен на расстоянии $\ell$ от центра сферы Если заряд $q$  расположен на расстоянии $\ell$ от центра сферы
 радиуса $a$, то изображением этого радиуса $a$, то изображением этого
-заряда будет заряд $q'=-qa/\ell$,+заряда будет заряд  
 +$$ 
 +q'=-\frac{qa}{\ell}, 
 +$$
 который следует поместить на расстояние который следует поместить на расстояние
-$\ell'=a^2/\ell$ от центра сферы. Таким образом,+$$ 
 +\ell'=\frac{a^2}{\ell} 
 +$$ 
 +от центра сферы. Таким образом,
 распределение потенциала и напряженности электрического поля вне сферы, создаваемое зарядом $q$   и распределение потенциала и напряженности электрического поля вне сферы, создаваемое зарядом $q$   и
- индуцированными зарядами на сфере, совпадает с распределением +индуцированными зарядами на сфере, совпадает с распределением 
- потенциала и напряженности, создаваемым  двумя точечными +потенциала и напряженности, создаваемым  двумя точечными 
- зарядами $q$ и $q'$: +зарядами $q$ и $q'$: 
-$$\varphi=\frac{q}{r}-\frac{a}{\ell}\frac{q}{r'} +$$ 
-  \qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,,$$ +\varphi=\frac{q}{r}-\frac{a}{\ell}\frac{q}{r'} 
- +\qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,, 
-$$\vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}\frac{\vec{r}'}+$$ 
 +$$ 
 +\vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}\frac{\vec{r}'}
 {r'^3} {r'^3}
 \qquad \mbox{при} \qquad R>a, \qquad \mbox{при} \qquad R>a,
 $$ $$
-где $r$ и $r'$ -- расстояния до точки наблюдения от зарядов+где $r$ и $r'$ --- расстояния до точки наблюдения от зарядов
 $q$ и $q'$ соответственно. Потенциал внутри сферы $q$ и $q'$ соответственно. Потенциал внутри сферы
 постоянен и равен потенциалу на сфере $\varphi(a)=0$. постоянен и равен потенциалу на сфере $\varphi(a)=0$.
  
-В полости и на внутренней поверхности сферы нет зарядов. +На внутренней поверхности сферы нет зарядов. 
-Потенциал сферы удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\varphi=0$. +Потенциал внутри сферы удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\varphi=0$. 
-На стенках полости он должен быть константой, равной нулю. +На стенках сферы он --- константа, равная нулю. 
-Решение, удовлетворяющее этому условию, можно указать сразу: +Решение, удовлетворяющее этому условию, можно указать сразу --- 
- это $\varphi=0$. По теореме единственности других решений быть +это $\varphi=0$. По теореме единственности других решений быть 
- не может. Значит, и $\vec{E}=-\text{grad}\,\varphi=0\,$ для $R<a$. Равенство +не может. Значит, и  
- нулю электрического поля внутри сферы легко понять из следующих +$$\vec{E}=-\text{grad}\,\varphi=0 \hspace{10pt} \text{ для } R<a. 
- соображений. Если вместо сферы взять проводящий шар того +$$ 
- же радиуса, то поле вне шара будет таким же, как поле вне +
- сферы. А поле внутри шара будет равно нулю, поскольку шар -- +
- проводник. Не будет внутри шара и объемных зарядов: $\rho=0$, +
- так как $\div\vec{E}=0$. Но такая электронейтральная среда не будет +
- оказывать никакого влияния на величину электрического поля. +
- Поэтому если такую среду удалить, оставляя только проводящую +
- оболочку, то  от этого  поле нигде  не изменится.  Оно +
- останется равным нулю во всем пространстве, из которого удалена +
- среда,  т. е. внутри  сферы.+
  
 Найдем  распределение поверхностной Найдем  распределение поверхностной
  плотности заряда $\sigma$ по сфере. На заряженной поверхности,  плотности заряда $\sigma$ по сфере. На заряженной поверхности,
  разделяющей области 1 и 2, в вакууме нормальные составляющие  разделяющей области 1 и 2, в вакууме нормальные составляющие
- электрического поля  терпят разрыв $E_{2R}\big|_{R=a}- + электрического поля  терпят разрыв  
-E_{1R}\big|_{R=a}=4\pi\sigma$. Поскольку в нашем  случае поле +$$ 
-с внутренней  стороны сферы  равно нулю $E_{1R}\big|_{R=a}=0$,+E_{2R}\big|_{R=a}- 
 +E_{1R}\big|_{R=a}=4\pi\sigma. 
 +$$ 
 +Поскольку в нашем  случае поле внутри проводящей сферы (толщина сферы не нулевая) равно нулю $E_{1R}\big|_{R=a}=0$,
 то то
-$$\sigma=\frac{1}{4\pi}E_{2R}\bigg|_{R=a}\;.$$+$$ 
 +\sigma=\frac{1}{4\pi}E_{2R}\bigg|_{R=a}\;. 
 +$$
  
-Найдем напряженность электрического поля на поверхности +Найдём напряженность электрического поля на поверхности 
- заземленной сферы. Заметим, что+заземленной сферы. Заметим, что
 $$\vec{R}=\vec{r}+\vec{\ell}\;,$$ $$\vec{R}=\vec{r}+\vec{\ell}\;,$$
 $$\vec{R}=\vec{r}'+\vec{\ell}'.$$ $$\vec{R}=\vec{r}'+\vec{\ell}'.$$
Строка 89: Строка 94:
 \] \]
  
-Найдем полный заряд на полусфере, обращенной к заряду $q$.\\ +Найдем полный заряд на полусфере, обращенной к заряду $q$. 
-\begin{wrapfigure}[6]{l}{5.0cm} +{{:electrodynamics:выделение_059.jpg?direct&200 |}}
-\vspace{-5pt} +
-\includegraphics[width=5.0cm]{RIS23.eps} +
-\end{wrapfigure}+
 Заряд на кольце Заряд на кольце
  ширины $ad\theta$ радиуса $a\sin\theta$ равен  ширины $ad\theta$ радиуса $a\sin\theta$ равен
Строка 99: Строка 101:
 Тогда величина заряда на полусфере, Тогда величина заряда на полусфере,
 обращенной к заряду $q$, будет равна обращенной к заряду $q$, будет равна
-\[ +$$ 
-\begin{array}{rl} +Q_1=-2\pi a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}
-Q_1&=-2\pi a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}+
 \frac{q(\ell^2-a^2)\sin\theta\,d\theta} {4\pi \frac{q(\ell^2-a^2)\sin\theta\,d\theta} {4\pi
-a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}=\\ +a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}= 
-  {}&=\frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell}+$$ 
 +$$ 
 +\frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell}
 \biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{\ell-a}\biggr)\,. \biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{\ell-a}\biggr)\,.
-\end{array} +$$
-\]+
  
 Таким же образом найдем заряд на противоположной полусфере: Таким же образом найдем заряд на противоположной полусфере:
Строка 132: Строка 134:
 $q''=-q'$. $q''=-q'$.
 Это легко  понять из  следующих рассуждений. Вне сферы будет Это легко  понять из  следующих рассуждений. Вне сферы будет
-\begin{wrapfigure}[7]{l}{5.8cm} +{{:electrodynamics:выделение_060.jpg?direct&200 |}}
-\vspace{-00pt} +
-\includegraphics[width=5.6cm]{RIS24.eps} +
-\end{wrapfigure}+
  какое-то   распределение  какое-то   распределение
 напряженности электрического поля  $\vec{E}$. напряженности электрического поля  $\vec{E}$.
Строка 149: Строка 148:
 $$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi q',$$ $$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi q',$$
  что неверно, значит, внутрь сферы нужно поместить еще один  что неверно, значит, внутрь сферы нужно поместить еще один
- заряд $q''$, \, равный \, по величине и + заряд $q''$, равный  по величине и 
- противоположный по \, знаку+ противоположный по знаку
  заряду $q'$,  $q''=~-q'$.  заряду $q'$,  $q''=~-q'$.
  
 Заряд $q''$ нужно поместить в такую точку, Заряд $q''$ нужно поместить в такую точку,
  чтобы сфера  осталась эквипотенциальной поверхностью в системе трех зарядов. Такой точкой является центр сферы. Окончательно  чтобы сфера  осталась эквипотенциальной поверхностью в системе трех зарядов. Такой точкой является центр сферы. Окончательно
- \[ +$$ 
- \begin{array}{rll} +\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}- 
-  \varphi(\vec{R})=&\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}- +\frac{q'}{R} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R\geq a, 
-\frac{q'}{R}&\mbox{при} \qquad R\geq a,\\ +$$ 
-  \vec{E}(\vec{R})=&\frac{q\vec{r}}{r^3}+\frac{q'\vec{r}'}+$$ 
 +\vec{E}(\vec{R})=\frac{q\vec{r}}{r^3}+\frac{q'\vec{r}'}
   {r'^3}-   {r'^3}-
-\frac{q'\vec{R}}{R^3}&\mbox{при} \qquad R> a. +\frac{q'\vec{R}}{R^3} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R> a. 
- \end{array} +$$ 
- \] +Внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на сфере 
- Внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на сфере +$$ 
-$$\varphi(\vec{R})=\varphi(a)=\frac{q}{\ell} +\varphi(\vec{R})=\varphi(a)=\frac{q}{\ell} 
-\qquad \mbox{при} \qquad R\leq a,$$+ \hspace{10pt} \mbox{при } R\leq a, 
 +$$
 а поле $\vec{E}=0$. Рассуждения такие же,  как и для заземленной а поле $\vec{E}=0$. Рассуждения такие же,  как и для заземленной
 сферы. сферы.
Строка 185: Строка 186:
 слоя, равен нулю, так как поле в проводнике $\vec{E}=0$. Отсюда слоя, равен нулю, так как поле в проводнике $\vec{E}=0$. Отсюда
  следует, что на внутренней поверхности слоя      индуцируется  следует, что на внутренней поверхности слоя      индуцируется
- заряд $(-q)$, на внешней -- $q$. Поля внесенного заряда $q$  и+ заряд $(-q)$, на внешней --- $q$. Поля внесенного заряда $q$  и
  индуцированного на внутренней поверхности заряда $(-q)$  индуцированного на внутренней поверхности заряда $(-q)$
  полностью компенсируют друг друга в толще слоя и во всем  полностью компенсируют друг друга в толще слоя и во всем
Строка 199: Строка 200:
  заряд $q$ не создавал в толщине слоя поле, он должен  заряд $q$ не создавал в толщине слоя поле, он должен
  распределиться равномерно. Понятно, что равномерность  распределиться равномерно. Понятно, что равномерность
-\begin{wrapfigure}[6]{l}{5.7cm} +{{:electrodynamics:выделение_061.jpg?direct&200 |}}
-\vspace{-15pt} +
-\includegraphics[width=5.5cm]{RIS25.eps} +
-\end{wrapfigure}+
  распределения  распределения
  заряда на внешней поверхности слоя сохранится, если толщину слоя  заряда на внешней поверхности слоя сохранится, если толщину слоя
Строка 218: Строка 216:
 $\Delta\varphi=0\;$ и $\Delta\varphi=0\;$ и
  что этот потенциал на сфере должен быть константой. Но  что этот потенциал на сфере должен быть константой. Но
- решение $\varphi=\const$ и соответственно $\vec{E}=0$+ решение $\varphi=const$ и соответственно $\vec{E}=0$
  во всей области вне сферы будет неверным. Действительно,  во всей области вне сферы будет неверным. Действительно,
  проводящая сфера делит  проводящая сфера делит
Строка 228: Строка 226:
 Потенциал Потенциал
 $$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}+ $$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}+
- \const+ const
   \qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$   \qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$
  
 Из условия непрерывности потенциала на поверхности сферы Из условия непрерывности потенциала на поверхности сферы
- следует, что\lb $\const=q/a$. Заряды $q$ и $q'$+ следует, что $const=\frac qa$. Заряды $q$ и $q'$
  обладают свойством взаимности: если $q'$  обладают свойством взаимности: если $q'$
  является изображением заряда  $q\,$, то  является изображением заряда  $q\,$, то
Строка 255: Строка 253:
  
  Полный заряд на внутренней поверхности сферы, как и следовало  Полный заряд на внутренней поверхности сферы, как и следовало
- быть,\lb $Q_1+Q_2=-q$.+ быть, $Q_1+Q_2=-q$.
  
 ==== г) Заряд внутри сферы. Сфера заземлена. ==== ==== г) Заряд внутри сферы. Сфера заземлена. ====
  
  Если  заземлить сферу,  рассмотренную выше,  то потенциал сферы  Если  заземлить сферу,  рассмотренную выше,  то потенциал сферы
-\begin{wrapfigure}[11]{l}{5.25cm} +{{:electrodynamics:выделение_062.jpg?direct&200 |}}
-\vspace{-15pt} +
-\includegraphics[width=5.0cm]{RIS26.eps} +
-\end{wrapfigure}+
 сравняется с потенциалом сравняется с потенциалом
 земли $\varphi=0$ и заряд $q$ с внешней земли $\varphi=0$ и заряд $q$ с внешней