Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.32 [2019/10/25 09:42] – root
+++ electrodynamics:res2.32 [2019/10/25 13:11] (текущий) – root
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 {{:electrodynamics:выделение_065.jpg?direct&200 |}}
-Для того чтобы вся сфера была эквипотенциальной с $\varphi =0$ поместим заряд $q'=-q\frac ab$ как в задаче [[res2.27|2.27]] в точку $x=b'=\frac{a^2}{b}.$ Теперь, что бы добиться эквипотенциальности плоской границы, как в задаче [[res2.22|2.22]], поместим заряды $-q$ и $-q'$ в точки $x=-b$ и $x=-b'$. Теперь поверхность плоскости с выступом у нас будет иметь потенциал $\varphi =0$, тогда приходим к тому, что в полупространстве потенциал описывается уравнением $\Delta \varphi = 3\pi q\delta(\vec r - \vec b)$, где $\vec b$ --- вектор проведённый из начала координат в точке с зарядом $q$.
+Для того чтобы вся сфера была эквипотенциальной с $\varphi =0$ поместим заряд $q'=-q\frac ab$ как в задаче [[res2.27|2.27]] в точку $x=b'=\frac{a^2}{b}.$ Теперь, что бы добиться эквипотенциальности плоской границы, как в задаче [[res2.22|2.22]], поместим заряды $-q$ и $-q'$ в точки $x=-b$ и $x=-b'$. Теперь поверхность плоскости с выступом у нас будет иметь потенциал $\varphi =0$, тогда приходим к тому, что в полупространстве потенциал описывается решением уравнения $\Delta \varphi = -4\pi q\delta(\vec r - \vec b)$, где $\vec b$ --- вектор проведённый из начала координат к точке с зарядом $q$, с нулевым граничным условием на плоскости с выступом. В силу единственности решения, такое решение можно получить добавив три виртуальных заряда в соответствующие точки, тогда
+$$\varphi  = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$
-$\varphi  = q/r_1 - q/r_2 + q'/r_3 - q'/r_4$,
 где
+$r_i$ показаны на рисунке.
-$q' =  - q\frac{a}{b},$
+Расписав  расстояния $r_i$ через расстояние $r$ и угол $\theta :$
+$$
-$b' = \frac{{a^2 }}{b}$;
+r_1=\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} r_2=\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)},
+$$
-$r_i$ показаны на рисунке и
+$$
+r_3=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt}
-$ Q_\text{инд} = - q\left( {1 - \frac{{b^2 - a^2 }}{{b\sqrt {b^2 + a^2 } }}}\right).$
+r_4=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}
+$$
+и [[res2.32-1|взяв производную]] по $r$ --- найдём нормальную составляющую электрического поля и поверхностную плотность зарядов:
+$$
+\sigma=q\frac{b^{2}-a^{2}}{4\pi a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
+$$
+Что бы получить заряд осталось проинтегрировать
+$$
+Q=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma\,dS=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta .
+$$
+Подставив полученную поверхностную плотность зарядов, [[res2.32-2|проинтегрируем]] и придём к выражению:
+$$
+Q=-q\left(1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\right).
+$$