Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.50 [2019/10/07 13:04] – создано root
+++ electrodynamics:res2.50 [2019/10/07 13:05] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 .50. Диполь с моментом $\vec{p}_1$ находится в начале координат, а другой диполь с моментом $\vec{p}_2$ --- в точке с радиус-вектором $\vec{r}$. Найти энергию взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?
+-----
+ Напряженность электрического поля, создаваемого диполем $\vec{p}_1$ в точке $\vec{r}$
+ \[
+\vec E =  - \nabla \left( {\frac{{\vec r\vec p_1 }}{{r^3 }}} \right) =  - \frac{{\vec p_1 }}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( {\vec r\vec p_1 } \right)}}{{r^5 }}
+\]
+Потенциальная энергия взаимодействия диполей $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$
+\[
+U\left(\vec r \right) =  - \left( {\vec p_2 \vec E} \right).
+\]
+или
+\[
+U\left(\vec r \right) = \frac{{\vec p_2 \vec p_1 }}{{r^3 }} - \frac{{3\left( {\vec p_1 \vec r} \right)}{\left( {\vec p_2 \vec r} \right)}}{{r^5 }} = \frac{{p_2 p_1 }}{{r^3 }}\left( {\sin \theta _1 \sin \theta _2 \cos \phi  - 2\cos \theta _1 \cos \theta _2 } \right),
+\]
+где \(\theta _1  = \left( \widehat {\vec{r}\vec{p}}_1  \right)\), \(
+\theta _2  = \left(\widehat{\vec{r}\vec{p}}_2  \right)\),
+\(\varphi\) -- угол между плоскостями \(\left( {\vec p_1 \vec r} \right)\) и \(\left( {\vec p_2 \vec r} \right)\).
+\[
+F_r  =  - \frac{{\partial U}}{{\partial r}} = \frac{{3p_2 p_1 \left( {\sin \theta _1 \sin \theta _2 \cos \phi  - 2\cos \theta _1 \cos \theta _2 } \right)}}{{r^4 }} = \frac{{3U}}{r}.
+\]
+Очевидно, что выражение в скобках, зависящее от углов, имеет максимальное значение при \(\theta _1=\theta _2=0\). Это значение равно \(-2\), тогда
+\[
+F_{\max }  =  - \frac{{6p_1 p_2 }}{{r^4 }}\,\, \text{(притяжение!)},
+\]
+и это имеет место когда диполи параллельны.