Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.51 [2019/10/07 13:07] – создано root
+++ electrodynamics:res2.51 [2019/11/01 12:20] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 .51. Электрический диполь с моментом $\vec{p}$ находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Расстояние $a$, проницаемость диэлектрика $\varepsilon$.
+-----
+В задаче [[res1.29|1.29]] мы выяснили, что если диполь <<жесткий>>, то его энергия
+\[
+U =  - \left( {\vec p\vec E} \right),
+\]
+<<жёсткость>> в данном случае означает, что вектора \(\vec p\) и \(\vec E\) независимы. В нашем случае \(p \sim E\), следовательно --- это <<квазиупругий>> диполь, тогда
+\[
+U =  - \frac 12 \left( {\vec p\vec E} \right).
+\]
+Если посмотреть на изображение диполя и представить его в виде двух разноимённых зарядов, то нормальная (по отношению к границе) составляющая диполя изображения будет совпадать c самим диполем, а тангенциальная --- поменяет направление. Тогда воспользовавшись решением задачи [[res2.50|2.50]] с учётом
+\[
+r = 2a, \hspace{7pt} \theta _1 = \theta, \hspace{7pt} \theta _2=-\theta :
+\]
+$$
+U = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\vec p_2 \vec p_1 }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3\left( {\vec p_2 \vec r} \right)\left( {\vec p_1 \vec r} \right)}}{{r^5 \varepsilon }}} \right) = \frac{1}{2}\left(
+\frac{{p^2 \cos 2 \theta }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3p^2 r^2 \cos ^2 \theta }}{{r^5 \varepsilon }}\right) =
+$$
+$$
+= \frac{{p^2 }}{{2 r^3 \varepsilon }}\left( {\cos 2\theta  - 3\cos ^2 \theta } \right) =  - \frac{{p^2 }}{{16a^3 \varepsilon }}\left( {1 + \cos ^2 \theta } \right) .
+$$
+Сила:
+$$ F_z  = -\frac{\partial U}{\partial a} = \frac{{3U}}{a}$$
+и вращательный момент
+$$N_\theta   = -\frac{\partial U}{\partial \theta }  = - \frac{{p^2 \sin 2\theta }}{{16\varepsilon a^3 }}.$$