Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res3.5 [2019/11/06 06:13] – создано root
+++ electrodynamics:res3.5 [2019/11/08 10:31] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 .5. Пространство между бесконечно длинными
 коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$
-заполнено веществом с проводимостью\lb $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти
+заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти
 распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и
 сопротивление на единицу длины. Потенциалы цилиндров: $U(a)=0,$
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 -----
+Так как мы рассматриваем установившееся состояние, когда заряды уже нигде не накапливаются, то
+$
+\text{div}\vec j = 0. Следовательно:
+$
+\[
+\text{div}\left( {\sigma \vec E} \right) =  - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0,
+\]
+тогда
+\[
+\sigma \Delta \varphi  + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0.
+\]
+В цилиндрической системе координат из--за симметрии задачи зависимость будет только от $r$, тогда
+\[
+\alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0,
+\]
+тогда
+\[
+r \frac{d}{dr} \left( \frac{d \varphi }{dr}\right) + \left( {n + 1} \right) \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0.
+\]
+Интегрируя придём к
+\[
+\frac{d \varphi }{dr} = Ar^{-(n+1)}.
+\]
+Интегрируя ещё раз
+$$
+\varphi = A'r^k +C.
+$$
+С учётом граничный условий \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) придём к выражению
+\[
+\varphi \left( r \right) = V\frac{\left( \frac br\right)^n  - 1}{\left( \frac ba\right)^n  - 1}.
+\]
+Ток на единицу длины вдоль \(z\)
+\[
+I = 2\pi rj =  - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi  = 2\pi V\frac{\alpha b^n }{\left(\frac ba\right)^n  - 1} = \frac{V}{R},
+\]
+так, что
+\[
+R = \frac{\left(\frac ba\right)^n  - 1}{2\pi \sigma _{\max } }.
+\]