electrodynamics:res3.9

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res3.9 [2019/11/06 06:28] – создано rootelectrodynamics:res3.9 [2019/11/06 06:29] (текущий) – root
Строка 8: Строка 8:
 ----- -----
  
 +Есть ток утечки \(\sigma _1 E_1  = \sigma _2 E_2\).
 +\(l_1 E_1  + l_2 E_2  = V\) --- полное падение напряжения.
 \[ \[
-\Div\vec j = 0+E_{1,2}  = \frac{{\sigma _{2,1} V}}{{l_1 \sigma _2  + l_2 \sigma _1 }}
 \] \]
 +Обратите внимание, что \(1,2 \to 2,1\). На границе между слоями свободный заряд.
 \[ \[
-\Div\left( {\sigma \vec E} \right) =  - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0+S\left( {D_{2n}  - D_{1n} } \right) = 4\pi \sigma _{\text{своб}},
 \] \]
 +откуда
 \[ \[
-\sigma \Delta \varphi  + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0+\sigma_{\text{своб}}  = \frac{{V\left( {\sigma _1 \varepsilon _2  - \sigma _2 \varepsilon _1 } \right)}}{{4\pi \left( {l_1 \sigma _2  + l_2 \sigma _1 } \right)}}
 \] \]
-В цилиндрической системе координат \(\frac{\partial }{{\partial \varphi }} = 0\), \(\frac{\partial }{{\partial z}} = 0\). 
 \[ \[
-\alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0+\sigma _{\text{связ}}  = \sigma ' = \frac{1}{{4\pi }}\left[ {\left( {D_{2n}  - E_{2n} } \right) - \left( {D_{1n}  - E_{1n} } \right)} \right]
 \] \]
 +Это все следует из
 \[ \[
-r^n \frac{{d^2 \varphi }}{{dr^2 }} + \left( {n + 1} \right)r^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0+j_{1n}  = j_{2n}
 \] \]
 \[ \[
-\varphi \left( r \right) = Ar^k  + B+\sigma _1 E_{n1}  = \sigma _2 E_{n2}
 \] \]
-\(k_1  =  - n\) \(k_2  = 0\), \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) 
 \[ \[
-\varphi \left( r \right) = V\frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ +D_{n2}  - D_{n1}  \ne 0 = D_{n1} \left( {\frac{{\sigma _1 }}{{\sigma _2 }}\frac{{\varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 }} - 1} \right)
- {\vphantom {b r}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} +
-\!\lower0.7ex\hbox{$r$}}} \right)^n  - 1}}{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ +
- {\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} +
-\!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n  - 1}}+
 \] \]
-Ток на единицу длины вдоль \(z\) +К положительно заряженной обкладке конденсатора прилегает 
-\[ +первый слой.
-I = 2\pi rj =  - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi  = 2\pi V\frac{{\alpha b^n }}{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ +
- {\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} +
-\!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n  - 1}} = \frac{V}{R} +
-\] +
-\[ +
-R = \frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ +
- {\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} +
-\!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n  - 1}}{{2\pi \sigma _{\max } }} +
-\] +
-При \(\sigma  = const\)задача о токе соответствует \(\Delta \varphi  = 0\). +
-Это можно использовать для аналогового (модельного) решения уравнения Лапласа. +
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +
- $ +
-\varphi \left( r \right)\negthickspace =\negthickspace U{{\left[ +
-{1 - \left( {{a \mathord{\left/ +
-{\vphantom {a r}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} r}} \right)^n } \right]} \mathord{\left/ +
-{\vphantom {{\left[ {1 - \left( {{a \mathord{\left/ +
-{\vphantom {a r}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} r}} \right)^n } \right]} {\left[ {1 - \left( {{a \mathord{\left/ +
-{\vphantom {a b}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} b}} \right)^n } \right]}}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} {\left[ {1 - \left( {{a \mathord{\left/ +
-{\vphantom {a b}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} b}} \right)^n } \right]}};$ $ +
-R\negthickspace =\negthickspace \left[ {\left( {{b \mathord{\left/ +
-{\vphantom {b a}} \right. +
-\kern-\nulldelimiterspace} a}} \right)^n\negthickspace  - \negthickspace 1} \right]/\left( {2\pi \sigma _{\text{max}} n} +
-\right)$,\\ где  $\sigma _{\text{max} }  = \alpha b^n$.+