electrodynamics:res5.16

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res5.16 [2019/12/03 17:46] – rootelectrodynamics:res5.16 [2020/11/26 16:57] (текущий) – root
Строка 4: Строка 4:
  
 {{:electrodynamics:выделение_158.png?direct&200 |}} {{:electrodynamics:выделение_158.png?direct&200 |}}
-Задачу будем решать методом изображений. Так как ток течёт по прямой, то имеется только одна составляющая векторного потенциала $\vec A=(0, 0, A_z)$. Рассмотрим три тока, будем считать, что ток в среде определяется током $I$  в среде $\mu 2$ и двумя токами в цилиндре в точке на расстоянии $b'=\frac{a^2}{b}$ и центре цилиндра. Ток $I_1$ в точке $b'$ и $-I_1$ в центре. +Задачу будем решать методом изображений. Так как ток течёт по прямой, то имеется только одна составляющая векторного потенциала $\vec A=(0, 0, A_z)$. Рассмотрим три тока, будем считать, что ток в среде определяется током $I$  в среде $\mu _2$ и двумя токами в цилиндре в точке на расстоянии $b'=\frac{a^2}{b}$ и центре цилиндра. Ток $I_1$ в точке $b'$ и $-I_1$ в центре. 
  
 Магнитное поле, будем считать, создаётся векторными потенциалами от этих токов. Для вычисления магнитного поля в цилиндре будем считать, что векторное поле создаётся от тока $I_2$ в точке $b$, но как будто вся среда с проницаемостью $\mu _1.$ Для вычисления магнитного поля вне цилиндра будем считать, что векторное поле создаётся от токами $I$ в точке $b$ и двумя токами $I_1$ и $-I_1$ в точке $b'$ и центре цилиндра, но как будто вся среда с проницаемостью $\mu _2.$ Магнитное поле, будем считать, создаётся векторными потенциалами от этих токов. Для вычисления магнитного поля в цилиндре будем считать, что векторное поле создаётся от тока $I_2$ в точке $b$, но как будто вся среда с проницаемостью $\mu _1.$ Для вычисления магнитного поля вне цилиндра будем считать, что векторное поле создаётся от токами $I$ в точке $b$ и двумя токами $I_1$ и $-I_1$ в точке $b'$ и центре цилиндра, но как будто вся среда с проницаемостью $\mu _2.$
Строка 28: Строка 28:
 $$H_{2\tau}=(\nabla\times A_{2})_{\theta}=-\frac{1}{\mu_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial r}=\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(r-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(r-\frac{a^{2}}{b}\cos\theta\right)}{r_{2}^{2}}-I_{1}\frac{1}{r}\right).$$ $$H_{2\tau}=(\nabla\times A_{2})_{\theta}=-\frac{1}{\mu_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial r}=\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(r-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(r-\frac{a^{2}}{b}\cos\theta\right)}{r_{2}^{2}}-I_{1}\frac{1}{r}\right).$$
 На границе На границе
-$$\left.H_{2\tau}\right|_{a}=\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(a-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(a-\frac{a^{2}}{b}\cos\theta\right)}{\frac{a^{2}}{b^{2}}r_{1}^{2}}-I_{1}\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(a-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(\frac{b^{2}}{a}-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}-I_{1}\frac{1}{a}\right)=$$+$$\left.H_{2\tau}\right|_{a}=\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(a-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(a-\frac{a^{2}}{b}\cos\theta\right)}{\frac{a^{2}}{b^{2}}r_{1}^{2}}-I_{1}\frac{1}{a}\right)= 
 +$$ 
 +$$\frac{2}{c}\left(I\frac{\left(a-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}+I_{1}\frac{\left(\frac{b^{2}}{a}-b\cos\theta\right)}{r_{1}^{2}}-I_{1}\frac{1}{a}\right)=$$
 $$\frac{2}{car_{1}^{2}}\left(I\left(a^{2}-ab\cos\theta\right)+I_{1}\left(b^{2}-ab\cos\theta\right)-I_{1}\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta\right)\right)=$$ $$\frac{2}{car_{1}^{2}}\left(I\left(a^{2}-ab\cos\theta\right)+I_{1}\left(b^{2}-ab\cos\theta\right)-I_{1}\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta\right)\right)=$$
 $$\frac{2}{cr_{1}^{2}}\left(I\left(a-b\cos\theta\right)-I_{1}\left(a-b\cos\theta\right)\right).$$ $$\frac{2}{cr_{1}^{2}}\left(I\left(a-b\cos\theta\right)-I_{1}\left(a-b\cos\theta\right)\right).$$
Строка 37: Строка 39:
 найдём токи найдём токи
 $$I_{1}=I\frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}}, \ \ I_{2}=I\frac{2\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}}.$$ $$I_{1}=I\frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}}, \ \ I_{2}=I\frac{2\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}}.$$
 +
 +По условию задачи $\mu_1=\mu,$ $\mu_2=1.$ Магнитное поле в от <<токов изображений>> в месте реального тока:
 +$$
 +B=-\frac{2I_1}{cb}+\frac{2I_1}{c(b-b')}=\frac{I_1a^2}{cb(b^2-a^2)}, 
 +$$
 +тогда сила на единицу длины:
 +$$
 +\frac{F}{l}=\frac{IB}{c}=\frac{2I^2a^2(\mu-1)}{c^2b(b^2-a^2)(\mu+1)}.
 +$$