electrodynamics:res6.4

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

electrodynamics:res6.4 [2019/12/06 18:07] – создано rootelectrodynamics:res6.4 [2019/12/06 18:08] (текущий) – root
Строка 19: Строка 19:
 \[ \[
 W=\frac{4J^2}{8\pi c^2} W=\frac{4J^2}{8\pi c^2}
-\int\limits_0^{2\pi} \dif \alpha +\int\limits_0^{2\pi} d \alpha 
-\int\limits_{-R}^{R}\dif z  \int\limits_{r_0}^{\sqrt{R^2-z^2}} \frac{\dif r}{r}=\frac{J^2}{2c^2}\int\limits_{-R}^R \dif z\left[\ln\frac{R^2}{r_0^2}+\ln\left(1-\frac{z^2}{R^2}\right)\right].+\int\limits_{-R}^{R} d z  \int\limits_{r_0}^{\sqrt{R^2-z^2}} \frac{d r}{r}=\frac{J^2}{2c^2}\int\limits_{-R}^R d z\left[\ln\frac{R^2}{r_0^2}+\ln\left(1-\frac{z^2}{R^2}\right)\right].
 \] \]
 Можно пренебречь вторым члено в полученном интеграле, но оказывается он вычисляется точно, не говоря уже о возможности его обезразмерить и посчитать численно. Можно пренебречь вторым члено в полученном интеграле, но оказывается он вычисляется точно, не говоря уже о возможности его обезразмерить и посчитать численно.
 \[ \[
-W=\frac{J^2}{2c^2}\left[4R\ln\frac{R}{r_0}+R\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)\dif x\right].+W=\frac{J^2}{2c^2}\left[4R\ln\frac{R}{r_0}+R\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)d x\right].
 \] \]
 Подынтегральная функция симметрична по \(x\), поэтому интеграл в квадратных скобках равен Подынтегральная функция симметрична по \(x\), поэтому интеграл в квадратных скобках равен
 \[ \[
-Int=\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)\dif x=2\int\limits_{0}^{1}\ln(1-x^2)\dif x=2\int\limits_{0}^{1}\left[\ln(1-x)+\ln(1+x)\right].+Int=\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)\ d x=2\int\limits_{0}^{1}\ln(1-x^2)\ d x=2\int\limits_{0}^{1}\left[\ln(1-x)+\ln(1+x)\right].
 \] \]
-Вспоминая, что интеграл \(\int \ln(x) \dif x\) вычисляется по частям,+Вспоминая, что интеграл \(\int \ln(x) \ d x\) вычисляется по частям,
 \[ \[
-\int \ln(x)\dif x= x\ln(x) - x,+\int \ln(x)\ d x= x\ln(x) - x,
 \] \]
 можно записать можно записать