| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия |
| electrodynamics:res6.76 [2019/12/12 08:42] – root | electrodynamics:res6.76 [2019/12/20 17:25] (текущий) – root |
|---|
| а) поле в полупространстве; | а) поле в полупространстве; |
| |
| б) среднюю за период мощность $\overline{W}=\int_0^\infty(\overline{\vec{j}\vec{E}})dz$, | б) среднюю за период мощность $\overline{P}=\int \limits_0^\infty(\overline{\vec{j}\vec{E}})dz$, |
| выделяющуюся в бесконечном столбике от нуля до $\infty$ по $Z$ и с единичной площадью сечения ($1\times 1$). | выделяющуюся в бесконечном столбике от нуля до $\infty$ по $Z$ и с единичной площадью сечения ($1\times 1$). |
| |
| вектор напряженности электрического или магнитного полей: | вектор напряженности электрического или магнитного полей: |
| \begin{equation} | \begin{equation} |
| \nabla^2\vec{E}= | (1) \hspace{10pt} \nabla^2\vec{E}= |
| \frac{4\pi\mu\sigma}{c^2}\;\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\,. | \frac{4\pi\mu\sigma}{c^2}\;\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\,. |
| \end{equation} | \end{equation} |
| зависеть только от координаты $z$ и времени. Граничное условие для | зависеть только от координаты $z$ и времени. Граничное условие для |
| электрического поля на поверхности проводника очевидно из | электрического поля на поверхности проводника очевидно из |
| первого уравнения системы (1): $\,E_{1\tau}=E_{2\tau}$. В силу | первого уравнения системы уравнений: $\,E_{1\tau}=E_{2\tau}$. В силу |
| этого условия электрическое поле в проводнике у его поверхности равно | этого условия электрическое поле в проводнике у его поверхности равно |
| $\;\vec{E}=\vec{E_0}\,\exp (-i\omega\,t)$. В переменном поле с | $\;\vec{E}=\vec{E_0}\,\exp (-i\omega\,t)$. В переменном поле с |
| частотой $\;\omega$ зависимость | частотой $\;\omega$ зависимость |
| всех величин от времени описывается множителем $\;\exp(-i\omega\,t)$. | всех величин от времени описывается множителем $\;\exp(-i\omega\,t)$. |
| Тогда уравнение (2) для напряженности электрического поля, | Тогда уравнение (1) для напряженности электрического поля, |
| зависящей только от координат, примет вид | зависящей только от координат, примет вид |
| $$\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial z^2}+ | $$\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial z^2}+ |
| \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}\,.$$ | \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}\,.$$ |
| Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при $\;z \to\infty$, | Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при $\;z \to\infty$, |
| пропорционально $\;\exp\big(-(1-i)z/\delta\big)$. Учитывая | пропорционально $\;\exp\big(-(1-i)\frac{z}{\delta}\big)$. Учитывая |
| граничное условие при $\,z=0$, получаем | граничное условие при $\,z=0$, получаем |
| $$\vec{E}=\vec{E_0}\,e^{\textstyle-\frac{z}{\delta}}\, | $$\vec{E}=\vec{E_0}\,e^{\textstyle-\frac{z}{\delta}}\, |
| нарушается первым. | нарушается первым. |
| |
| Средняя по времени энергия $\,\overline{dW}$, диссипируемая в | Средняя по времени энергия $\,\overline{dP}$, диссипируемая в |
| элементе объема $\,dv$ проводника в единицу времени, равна | элементе объема $\,dV$ проводника в единицу времени, равна |
| $$\overline{dW}= | $$\overline{dP}= |
| \overline{(\vec{j}\,\vec{E})}\,dv= | \overline{(\vec{j}\,\vec{E})}\,dV= |
| \sigma\,\overline{E^2}\,dv\,,$$ | \sigma\,\overline{E^2}\,dV\,,$$ |
| где черта означает усреднение по времени. Здесь $\,\vec{j}$ и | где черта означает усреднение по времени. Здесь $\,\vec{j}$ и |
| $\,\vec{E}$ вещественные. | $\,\vec{E}$ вещественные. |
| Энергия, выделяемая в бесконечном столбике с единичной | Энергия, выделяемая в бесконечном столбике с единичной |
| площадью сечения: | площадью сечения: |
| $$\overline{W}=\int\limits_0^{\infty} | $$\overline{P}=\int\limits_0^{\infty} |
| \sigma\,\overline{E^2}\,dz\,.$$ | \sigma\,\overline{E^2}\,dz\,.$$ |
| Если $\,\vec{j}$ и $\,\vec{E}$ взять в комплексном виде, | Если $\,\vec{j}$ и $\,\vec{E}$ взять в комплексном виде, |
| то среднее по времени значение их произведения можно вычислить так: | то среднее по времени значение их произведения можно вычислить так: |
| $$\overline{W}=\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{\infty} | $$\overline{P}=\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{\infty} |
| {\cal R}e\;(\vec{j}\,\vec{E}\;^\ast)\,dz=\frac{\sigma\,E_0^2}{2} | {\cal R}e\;(\vec{j}\,\vec{E}\;^\ast)\,dz=\frac{\sigma\,E_0^2}{2} |
| \int\limits_0^{\infty}e^{-2z/\delta}\,dz= | \int\limits_0^{\infty}e^{-2z/\delta}\,dz= |
| \frac{E_0^2\sigma\,\delta}{4}.$$ | \frac{E_0^2\sigma\,\delta}{4}.$$ |