Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- f2s12 [2024/05/13 15:17] – создано root
+++ f2s12 [2024/05/13 15:36] (текущий) – [Задача 3] root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-===== Правило квантования Бора--Зоммерфельда. =====
+===== Правило квантования Бора-Зоммерфельда. =====
-\subsection{Задача 1.}
+==== Задача 1. =====
-\begin{frame}
-Для классической частицы можно говорить о её импульсе и её траектории. \pause Формально можно расширить обычное трёхмерное пространство ($x,y,z$) на 6--мерное пространство, добавив ещё три координаты --- три проекции импульса ($p_x, p_y, p_z$). \pause Такое пространство называют фазовым пространством. \pause
+Для классической частицы можно говорить о её импульсе и её траектории.  Формально можно расширить обычное трёхмерное пространство ($x,y,z$) на 6--мерное пространство, добавив ещё три координаты --- три проекции импульса ($p_x, p_y, p_z$).  Такое пространство называют фазовым пространством.
 В двумерном фазовом пространстве $(p_x,x)$ можно рассмотреть площадь:
 $$S\sim \oint pdx$$
-которая для классической частицы может принимать любое значение. \pause Но в квантовом случае это не так.
+которая для классической частицы может принимать любое значение.  Но в квантовом случае это не так.
 В квантовом случае действует правило квантования Бора--Зоммерфельда
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 где $n=0,1,2, \ldots $.
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\begin{block}{Задача 1.}
 Пользуясь правилом квантования Бора--Зоммерфельда
 $$
@@ Строка 30: / Строка 25: @@
 найти уровни энергии гармонического осциллятора.
-%	\begin{center}
-%			\includegraphics[scale=0.5]{372-2}
-%	\end{center}
-\end{block}
-\pause
 Полная энергия гармонического осциллятора равна:
 $$
-E=\frac{p^2}{2m}+\frac 12 m\omega^2 x^2 \pause =
+E=\frac{p^2}{2m}+\frac 12 m\omega^2 x^2  =
-\frac{p_0^2}{2m} \pause=
+\frac{p_0^2}{2m} =
 \frac 12 m\omega^2 A^2,
 $$
-где $p_0$ --- амплитуда импульса, $A$ --- амплитуда координаты \pause так, что
+где $p_0$ --- амплитуда импульса, $A$ --- амплитуда координаты  так, что
 $$
-x=A\sin(\omega t +\phi ), \pause \ \ \ p=p_0\cos(\omega t+ \phi )\pause=mv\pause=mA\omega \cos(\omega t+ \phi ).
+x=A\sin(\omega t +\phi ),  \ \ \ p=p_0\cos(\omega t+ \phi )=mv=mA\omega \cos(\omega t+ \phi ).
 $$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Найдем интеграл
 $$
-\oint pdx\pause=\oint p_{0}\cos(\omega t+\phi)d\left(A\sin(\omega t+\phi)\right)\pause=m\omega A^{2}\intop_{0}^{2\pi}\cos^{2}(\omega t+\phi)\,dt=
+\oint pdx=\oint p_{0}\cos(\omega t+\phi)d\left(A\sin(\omega t+\phi)\right)=m\omega A^{2}\intop_{0}^{2\pi}\cos^{2}(\omega t+\phi)\,dt=
-$$\pause
+$$
+$$
+\frac{m\omega A^{2}}{2}\intop_{0}^{2\pi}1+\cos2(\omega t+\phi)\,dt=\frac{m\omega A^{2}}{2}\left.\left(t+\frac{\sin2(\omega t+\phi)}{2\omega}\right)\right|_{0}^{2\pi}=\pi m\omega A^{2}
 $$
-\frac{m\omega A^{2}}{2}\intop_{0}^{2\pi}1+\cos2(\omega t+\phi)\,dt\pause=\frac{m\omega A^{2}}{2}\left.\left(t+\frac{\sin2(\omega t+\phi)}{2\omega}\right)\right|_{0}^{2\pi}\pause=\pi m\omega A^{2}
-$$\pause
 Тогда в соответствии с правилом квантования Бора--Зоммерфельда
 $$
-\frac 12 + n= \frac 1{2\pi \hbar}\oint pdx=\pause \frac{\pi m\omega A^{2}}{2\pi \hbar}.
+\frac 12 + n= \frac 1{2\pi \hbar}\oint pdx= \frac{\pi m\omega A^{2}}{2\pi \hbar}.
-$$\pause
+$$
 Подставив в выражение для энергии:
 $$
-E=\frac 12 m\omega^2 A^2\pause=\hbar\omega \left(\frac 12 + n\right).
+E=\frac 12 m\omega^2 A^2=\hbar\omega \left(\frac 12 + n\right).
 $$
-\end{frame}
-\section{Уравнение Шрёдингера}
-\subsection{Задача 2}
+===== Уравнение Шрёдингера =====
-\begin{frame}
+====Задача 2====
 Волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
 $$
 \widehat{H}\Psi =E\Psi,
-$$\pause
+$$
 где $\widehat{H}$ --- оператор Гамильтона (Гамильтониан):
 $$
-\widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)\pause=
+\widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)=
-\frac{(-i\hbar \nabla)^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)\pause=
+\frac{(-i\hbar \nabla)^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)=
 -\frac{\hbar^2\Delta }{2m}+\widehat{U}(x,y,z).
-$$ \pause
+$$
-\begin{block}{Задача 2}
+//Найти уровни энергии и построить соответствующие волновые функции в
-	Найти уровни энергии и построить соответствующие волновые функции в
+одномерной прямоугольной бесконечной потенциальной яме шириной $a.$//
-	одномерной прямоугольной бесконечной потенциальной яме шириной $a.$
-\end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Потенциальная яма описывается потенциалом:
@@ Строка 98: / Строка 75: @@
 	\infty & 0<x\text{ и }x>a
 \end{array}\right . .
-$$\pause
+$$
-Найдём функцию $\Psi $ внутри ямы\pause:
+Найдём функцию $\Psi $ внутри ямы:
 $$
 -\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_1 '' =E\Psi _1.
-$$\pause
+$$
 Общим решением этого диф. уравнения будет
 $$
 \Psi _1=A\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x \right)+B\cos\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x \right).
-$$\pause
+$$
-Квадрат волновой функции описывает вероятность обнаружении частицы\pause, но для бесконечной ямы --- частица не может её покинуть\pause, следовательно, при $0<x\text{ и } x >a$ волновая функция $\Psi _2=0$.
+Квадрат волновой функции описывает вероятность обнаружении частицы, но для бесконечной ямы --- частица не может её покинуть, следовательно, при $0<x\text{ и } x >a$ волновая функция $\Psi _2=0$.
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Тогда из непрерывности волновой функции
 $$
-\Psi _1(0)=0\pause=A \cdot 0 +B\cdot 1\pause \Rightarrow B=0.\pause
+\Psi _1(0)=0=A \cdot 0 +B\cdot 1 \Rightarrow B=0.
 $$
 $$
-\Psi _1(a)=0\pause=A \cdot \sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a \right) \pause \Rightarrow \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a=\pi n.
+\Psi _1(a)=0=A \cdot \sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a \right)  \Rightarrow \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a=\pi n.
-$$\pause
+$$
 Пришли к дискретному спектру:
 $$
 E_n=\frac{\hbar^2\pi ^2 n^2}{2ma^2}.
-$$ \pause
+$$
 Результат можно сравнить с оценкой основного состояния на основе соотношения неопределённости:
 $$
 E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2} .
 $$
-\end{frame}
+Запишем волновую функцию с соответствующей энергией $E_n$:
-\begin{frame}
-Запишем волновую функцию с соответствующей энергией $E_n$\pause:
 $$
-\Psi _n(x)=A \cdot \sin\left(\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}x \right) \pause =
+\Psi _n(x)=A \cdot \sin\left(\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}x \right)  =
 A \cdot \sin\left(\frac{\pi nx}{a} \right).
-$$\pause
-Осталось определить константу $A$ исходя из ... \pause
-того, что квадрат волновой функции описывает плотность вероятности\pause, но тогда:
 $$
-\int pdx=1\pause=\intop_0^a A^2 \sin^2\left(\frac{\pi nx}{a} \right) dx\pause=
+Осталось определить константу $A$ исходя из того, что квадрат волновой функции описывает плотность вероятности, но тогда:
-\frac{A^2}2 \intop_0^a 1-\cos\left(2\frac{\pi nx}{a} \right) dx\pause= \frac{A^2a}2.
+$$
-$$\pause
+\int pdx=1=\intop_0^a A^2 \sin^2\left(\frac{\pi nx}{a} \right) dx=
+\frac{A^2}2 \intop_0^a 1-\cos\left(2\frac{\pi nx}{a} \right) dx= \frac{A^2a}2.
+$$
 Окончательно запишем
 $$
 \Psi _n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}} \cdot \sin\left(\frac{\pi nx}{a} \right).
 $$
-\pause
+{{ ::12-1.png?300 |}}
-	\begin{center}
-			\includegraphics[scale=0.4]{02-1}
-	\end{center}
-\end{frame}
-\subsection{Задача 3}
-\begin{frame}
+==== Задача 3 ====
-\begin{block}{Задача 3}
+// Найти уровни энергии и построить соответствующие волновые функции в
-Найти уровни энергии и построить соответствующие волновые функции в
 одномерной прямоугольной потенциальной яме
 шириной a и глубиной $-U_0.$
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{03-1}
-\end{center}
+//
-\end{block}
-\pause
 В данном случае потенциальная яма описывается функцией
 $$
@@ Строка 173: / Строка 133: @@
 \end{array}\right . .
 $$
-\pause
+Рассмотрим три волновых функции и "сошьём"  их на границе.
-Рассмотрим три волновых функции и "сошьём" {} их на границе.
-\end{frame}
-\begin{frame}
+Найдём функцию $\Psi $ внутри ямы:
-Найдём функцию $\Psi $ внутри ямы\pause:
 $$
 -\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_2 '' -U_0\Psi _2=E\Psi _2.
-$$\pause
+$$
-Совершенно аналогично предыдущей задаче, но вводя $k_2=\frac p\hbar=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}$ --- волновое число, получим общее решение\pause:
+Совершенно аналогично предыдущей задаче, но вводя $k_2=\frac p\hbar=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}$ --- волновое число, получим общее решение:
 $$
 \Psi_2(x)=A_2\sin(k_2x)+B_2\cos(k_2x).
 $$
-\pause
 Для случая частицы вне ямы, рассмотрим вариант когда её энергии не хватает что бы она покинула яму: $E<0$\pause, тогда уравнение Шрёденгера
 $$
 -\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_i '' =E\Psi _i=-|E|\Psi _i
-$$\pause
+$$
 и вводя $k_1=\frac p\hbar=\frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}$ запишем общее решение:
 $$
 \Psi_i(x)=A_i\exp(k_1x)+B_i\exp(-k_1x).
 $$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Так как любую функцию можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции, то найдём сначала чётное решение $\Psi (-x)=\Psi(x)$. \pause
@@ Строка 206: / Строка 158: @@
 \Psi_1(-\frac a2)=\Psi_2(-\frac a2) \ \ \text{ и } \ \
 \Psi_2(\frac a2) = \Psi_3(\frac a2)
-$$\pause
+$$
 её производную
 $$
@@ Строка 212: / Строка 164: @@
 \Psi_2'(\frac a2) = \Psi_3'(\frac a2)
 $$
-\pause
 получим систему
 $$
 A_1\exp(-k_1\frac a2)=B_2\cos(k_2\frac a2), \ \
 k_1 A_1\exp(-k_1\frac a2)=-B_2k_2\sin(-k_2\frac a2),
-$$\pause
+$$
 тогда получаем уравнение
 $$
@@ Строка 223: / Строка 174: @@
 $$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Вспоминая определения $k_1, \  k_2$ получим уравнения на энергию $E$:
 $$
 \text{tg }\left(\frac{\sqrt{2m(U_0-|E|)}a}{2\hbar} \right)=\frac{\sqrt{{E}}}{\sqrt{U_0-|E|}}.
-$$\pause
+$$
 Для антисимметричной функции получится уравнение
 $$
 \text{ctg }\left(\frac{\sqrt{2m(U_0-|E|)}a}{2\hbar} \right)=\frac{\sqrt{{E}}}{\sqrt{U_0-|E|}}.
 $$
-\pause
+{{ ::12-2.png?300 |}}
-\begin{center}
-	\includegraphics[scale=0.5]{03-2}
-\end{center}
-\end{frame}
-\subsection{Задача 4.}
+==== Задача 4. ====
-\begin{frame}
+//
-\begin{block}{Задача 4.}
 Найти среднюю координату и наиболее вероятную координату частицы,
-состояние которой описывается волновой функцией:
+состояние которой описывается волновой функцией://
 $$
 \Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
@@ Строка 254: / Строка 195: @@
 \end{array}\right. .
 $$
-\end{block}
-\pause
 Среднее значение оператора $x$
 $$
 \langle x \rangle =\langle \Psi |x| \Psi \rangle =
 \intop _{-\infty}^{\infty} \Psi ^*x\Psi dx
-%\intop _{-\infty}^{\infty} x^3e^{-\frac{2x}{a}} dx =
+$$
-%\frac{числитель}{знаменатель}\intop _{-\infty}^{\infty} x^3e^{-\frac{2x}{a}} dx =
-$$\pause
 Но в первую очередь нормируем волновую функцию:
 $$
-= \intop _{-\infty}^{\infty} \Psi ^*\Psi dx \pause=
+= \intop _{-\infty}^{\infty} \Psi ^*\Psi dx =
-A^2\intop _{0}^{\infty} x^2e^{-\frac{2x}{a}} dx =\pause
+A^2\intop _{0}^{\infty} x^2e^{-\frac{2x}{a}} dx =
 A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \intop _{0}^{\infty} t^2e^{-t} dt =
 $$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 $$
-A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \intop _{0}^{\infty} t^2e^{-t\alpha }\left .\right|_{\alpha =1} dt =\pause
+A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \intop _{0}^{\infty} t^2e^{-t\alpha }\left .\right|_{\alpha =1} dt =
 A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \left .\intop _{0}^{\infty} \frac{d^2}{d\alpha^2}e^{-t\alpha } dt\right|_{\alpha =1} =
-$$\pause
 $$
-A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \left .  \left(\frac{d^2}{d\alpha ^2} \frac 1\alpha\right) \right|_{\alpha =1} =\pause
+$$
+A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \left .  \left(\frac{d^2}{d\alpha ^2} \frac 1\alpha\right) \right|_{\alpha =1} =
 A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{3} \cdot 2 = 1.
-$$\pause
+$$
-Следовательно $A^2=\frac{4}{a^3}$. \pause
+Следовательно $A^2=\frac{4}{a^3}$.
 Найдём теперь среднюю координату:
 $$
-\langle x \rangle \pause =
+\langle x \rangle  =
-A^2\intop _{0}^{\infty} x^3e^{-\frac{2x}{a}} dx =\pause
+A^2\intop _{0}^{\infty} x^3e^{-\frac{2x}{a}} dx =
 A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^4 \intop _{0}^{\infty} t^3e^{-t} dt =
-$$\pause
 $$
--A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^4\frac{d^3}{d\alpha ^3} \intop _{0}^{\infty} e^{-t\alpha } dt = \pause A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^4 \cdot 6= \pause
-\frac{4}{a^3} \left(\frac{a}{2}\right)^4 \cdot 6 = \pause \frac{3a}{2}.
 $$
-\end{frame}
+-A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^4\frac{d^3}{d\alpha ^3} \intop _{0}^{\infty} e^{-t\alpha } dt =  A^2 \left(\frac{a}{2}\right)^4 \cdot 6=
+\frac{4}{a^3} \left(\frac{a}{2}\right)^4 \cdot 6 =  \frac{3a}{2}.
-\begin{frame}
+$$
 Для нахождения наиболее вероятной координаты найдём экстремум плотности вероятности
-$$\rho(x)\pause=\Psi^{*}\Psi=\pause A^{2}x^{2}e^{-\frac{2x}{a}}.$$\pause
+$$\rho(x)=\Psi^{*}\Psi= A^{2}x^{2}e^{-\frac{2x}{a}}.$$
 Итак:
-$$\frac{d}{dx}\rho(x)=\pause A^{2}\left(2xe^{-\frac{2x}{a}}-\frac{2x^{2}}{a}e^{-\frac{2x}{a}}\right)=\pause 2A^{2}xe^{-\frac{2x}{a}}\left(1-\frac{x}{a}\right)=0,$$ \pause
+$$\frac{d}{dx}\rho(x)= A^{2}\left(2xe^{-\frac{2x}{a}}-\frac{2x^{2}}{a}e^{-\frac{2x}{a}}\right)= 2A^{2}xe^{-\frac{2x}{a}}\left(1-\frac{x}{a}\right)=0,$$
 следовательно, $x=a$.