f2s13

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
f2s13 [2024/05/13 15:49] – rootf2s13 [2024/05/13 16:10] (текущий) – [Задача 4] root
Строка 15: Строка 15:
 ----- -----
  
-$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle \pause=\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle \pause=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx\pause=$$+$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle =\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle =\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx=$$
 $$ $$
--\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx\pause=+-\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx=
 -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial
 x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$ x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$
  
 $$ $$
--\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx\pause= +-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx= 
--\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$ +-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$ 
-\pause +$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=$$
-$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=$$+
  
-$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx\pause=$$+$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx=$$
  
-$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$+$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$
  
 Следовательно,  Следовательно, 
Строка 48: Строка 47:
  
 Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение
-Шрёдингера\pause:+Шрёдингера:
  
 $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$ $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$
Строка 54: Строка 53:
 Продифференцируем:  Продифференцируем: 
  
-$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}\pause=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)\pause=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$\pause+$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$
 тогда тогда
-$$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$\pause+$$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$
 так, что так, что
-$$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$ \pause +$$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$  
-следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}, \pause \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$+следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m},  \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$
  
  
-Константу $A$ определим из нормировки\pause:+Константу $A$ определим из нормировки:
  
-$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx\pause=$$+$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx=$$
 $$ $$
-\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=$$+\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=$$
 $$ $$
-\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}\pause=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$ +\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$
-\pause+
 следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$ следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$
  
Строка 77: Строка 75:
 Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке
 определяется выражением: определяется выражением:
-$$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$ \pause тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности: +$$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$  тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности: 
-$$\frac{\ensuremath{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$ \pause +$$\frac{{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$  
-Введём поток вероятности \pause (или ток вероятности) \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$+Введём поток вероятности  (или ток вероятности)  $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$
  
-Для плоской волны \pause (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом): +Для плоской волны  (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом): 
-$$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \ \pause \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$+$$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \  \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \ $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$
  
 ====Задача 3==== ====Задача 3====
Строка 88: Строка 86:
 Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере
 высотой $U_{0}<E.$ высотой $U_{0}<E.$
-\begin{center} +{{ ::13-1.png?300 |}}
-\includegraphics[scale=0.5]{03} +
-\end{center}+
 ----- -----
  
 Запишем уравнение Шрёдингера: Запишем уравнение Шрёдингера:
-$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\pause+$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\
 потенциал имеет вид:  потенциал имеет вид: 
 $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
Строка 112: Строка 108:
 1+A=B,\\ 1+A=B,\\
 k\left(1-A\right)=k_{2}B, k\left(1-A\right)=k_{2}B,
-\end{array}\right.$$\pause+\end{array}\right.$$\
 Решая систему двух линейных алгебраических уравнений: Решая систему двух линейных алгебраических уравнений:
 $$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$ $$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$
Строка 120: Строка 116:
  
 Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности
-отражённой волны к току вероятности падающей\pause:+отражённой волны к току вероятности падающей:
  
-$$R=|A|^{2}\pause=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}\pause=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$+$$R=|A|^{2}=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$
  
 Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь
 барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$ барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$
-\begin{center} +{{ ::13-2.png?300 |}}
-\includegraphics[scale=0.5]{04} +
-\end{center} +
- +
 Запишем уравнение Шрёдингера: Запишем уравнение Шрёдингера:
 $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$ $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$
Строка 147: Строка 139:
  
 Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на
-границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$\pause+границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$
  
-$1+A=B+C;$\pause+$1+A=B+C;$
  
-$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$\pause+$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$
  
-$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$\pause+$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$
  
-$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$\pause+$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$
  
 Решая систему, получим: Решая систему, получим:
  
-$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$\pause +$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$ 
-так как $R=|A|^{2},$ то \pause+так как $R=|A|^{2},$ то 
 $$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$ $$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$
  
Строка 196: Строка 188:
  
 Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$ Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$
-где $a,b$ \textemdash{} классические точки поворота для потенциального+где $a,b$  классические точки поворота для потенциального
 барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь
 потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$. потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$.
-\begin{center} +{{ ::13-3.png?300 |}}
- \includegraphics[scale=0.5]{05} +
-\end{center} +
-\end{block}+
 Потенциальная энергия имеет вид: Потенциальная энергия имеет вид:
 $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
Строка 210: Строка 199:
  
  
-Определим точки поворота\pause: +Определим точки поворота: 
-$a=0,$ \pause а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$\pause+$a=0,$  а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$
 следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$ следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$
 Итак: Итак: