Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- ggf3-5 [2025/10/06 06:17] – root
+++ ggf3-5 [2026/09/27 16:45] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 5. Магнитное поле в вакууме (закон Био–Савара) ======
-===== Семинары по электромагнетизму 5 =====
+===== Задача 1 =====
+==== Условие ====
+Найти напряжённость магнитного поля на расстоянии $R$ от бесконечного провода, по которому течёт ток $J$.
-==== Таблица 2.1 ====
+==== Решение ====
+По закону Био–Савара–Лапласа элемент $Jd\vec l$ создаёт поле $dB=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r}\,d\alpha$, где $\alpha$ — угол, под которым виден элемент из точки наблюдения, $R=r\cos\alpha$. Интегрируя $\alpha$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ (весь бесконечный провод):
+$$B=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mu_0\frac{J\cos\alpha}{4\pi R}\,d\alpha=\frac{\mu_0J}{2\pi R}.$$
-| Наименование | Обозначение | СИ | СГС | СИ/СГС |
+==== Ответ ====
-| Магнитная индукция | $B$ | $\text{Тл} \left( \frac{\text{Вб}}{\text{м}^2} \right)$ | Гс | $10^4$ |
+$B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi R}$.
-| Напряженность магнитного поля | $H$ | А/м | Э | $4\pi \cdot 10^{-3}$ |
-| Магнитная постоянная | $\mu_0$ | $\frac{\text{Гн}}{\text{м}}$ | 1 | $4\pi \cdot 10^{-7}$ |
-| Поток магнитной индукции | $\Phi_B$ | Вб ($\text{Тл} \cdot \text{м}^2$) | Мкс | $10^8$ |
-**Перевод из CGS в СИ:**
+===== Задача 2 =====
+==== Условие ====
+Вычислить напряжённость магнитного поля кругового тока на его оси. Радиус витка $a$, расстояние от точки наблюдения до плоскости витка (вдоль оси) — обозначим $z$, а до самого провода — $r=\sqrt{a^2+z^2}$.
-$B(\text{индукция}) = \frac{c\mu_0}{4\pi} H (\text{напряженность поля})$
+==== Решение ====
+Осевая составляющая от элемента $dl$: $dB_z=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r^2}\sin\alpha\,dl$, где $\sin\alpha=a/r$ одинаков для всех точек витка. Интегрирование по контуру даёт множитель $2\pi a$:
+$$B_z=\frac{\mu_0Ja}{2r^2}\cdot\frac ar=\frac{\mu_0a^2J}{2r^3}=\frac{\mu_0a^2J}{2(a^2+z^2)^{3/2}}.$$
-**Обратное преобразование:**
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\mu_0a^2J}{2(a^2+z^2)^{3/2}}$; в центре ($z=0$): $B=\mu_0J/(2a)$.
-$H (\text{напряженность поля}) = \frac{4\pi}{\mu_0 c} B (\text{индукция})$
+===== Задача 3 =====
+==== Условие ====
+Найти магнитную индукцию $B$ поля, создаваемого проводом длины $\ell$, в точке, из которой его края видны под углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$; ток $J$, расстояние от провода до точки $r_0$.
-$\oint (\vec{B} \cdot d\vec{s}) = \mu_0 \int (\vec{j} \cdot d\vec{s})$ - Теорема Стокса
+==== Решение ====
+Из закона Био–Савара $dB=\dfrac{\mu_0J\sin\alpha}{4\pi r^2}dl$; выражая $dl=\dfrac{r_0\,d\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot\sin\alpha=\dfrac{r_0\,d\alpha}{\sin\alpha}$ и $r=r_0/\sin\alpha$, получаем $dB=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r_0}\sin\alpha\,d\alpha$. Интегрируя от $\alpha_1$ до $\alpha_2$:
+$$B=\frac{\mu_0J}{4\pi r_0}(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2).$$
+При симметричном расположении ($\cos\alpha_2=-\cos\alpha_1$): $B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r_0}\cos\alpha_1$.
-$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ - Закон Био и Савара
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r_0}(\cos\varphi_1-\cos\varphi_2)$.
-$d\vec{F}_{12} = I_2 [d\vec{l}_2 \times \vec{B}_1]$ - Закон Ампера
+===== Задача 4 =====
+==== Условие ====
+Найти напряжённость магнитного поля в точке на оси соленоида радиуса $a$ с линейной плотностью витков $n$, из которой его края видны под углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Ток через обмотку $J$.
-==== Задачи ====
+==== Решение ====
+Каждый элемент соленоида толщиной $dz$ ($ndz$ витков) создаёт на оси поле по формуле задачи 2. Переходя от интегрирования по $z$ к интегрированию по углу $\alpha$ ($z=a\operatorname{ctg}\alpha$):
+$$B_z=\frac{\mu_0nJ}2\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\sin\alpha\,d\alpha\cdot(-1)=\frac{\mu_0nJ}2(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1).$$
+Частные случаи: на конце полубесконечного соленоида ($\alpha_1=\pi/2,\alpha_2=0$) — $B=\mu_0nJ/2$; внутри бесконечного соленоида ($\alpha_1=\pi,\alpha_2=0$) — $B=\mu_0nJ$.
-**1.** Найти напряженность магнитного поля на расстоянии R от бесконечного провода, по которому течет ток J.
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\mu_0nJ}2(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)$.
-**2.** Вычислить напряженность магнитного поля кругового тока на его оси. Радиус витка тока a, расстояние от точки наблюдения до провода r.
+===== Задача 5 =====
+==== Условие ====
+{{ ::ggf3-55.png?350|}}
+Схема симметричного разветвления токов: все проводники прямолинейны, бесконечны, лежат в одной плоскости. Определить напряжённость магнитного поля на линии, перпендикулярной плоскости токов и проходящей через точку $A$, если ток в каждой ветви равен $J$ (в подводящем проводе — $2J$).
-**3.** Найти магнитную индукцию B поля, создаваемого проводом длины l, в точке, из которой его края видны под углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$. По проводу протекает ток J расстояние от провода до точки равно $r_0$.
+==== Решение ====
+Поле определяется суммой вкладов от полубесконечных проводов, сходящихся симметрично в точке разветвления; итоговая формула (аналогично задаче 3 для полупрямых под углом) даёт зависимость от угла разветвления $\alpha$.
-**4.** Найти напряженность магнитного поля в точке на оси соленоида радиуса a с линейной плотностью витков n, из которой его края видны под углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Через обмотку соленоида протекает ток J.
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r}(1+\cos\alpha)$, где $r$ — расстояние от точки $A$ до линии токов; направление перпендикулярно плоскости токов.
-**5.** На рисунке показана схема симметричного разветвления токов. Все проводники прямолинейны, бесконечны и лежат в одной плоскости. Определить напряженность магнитного поля на линии, перпендикулярной к плоскости токов и проходящей через точку А, если сила тока в каждой ветви равна J.
+===== Задача 6 =====
+==== Условие ====
+Длинный провод с током $J=50$ А изогнут под углом $\alpha=2\pi/3$. Определить напряжённость магнитного поля в точке $A$ на расстоянии $d=5$ см от вершины излома (перпендикулярно одному из прямых участков).
-**6.** Длинный провод с током $J = 50$ А изогнут под углом $\alpha = 2\pi/3$. Определить напряженность магнитного поля в точке A. Расстояние $d = 5$ см.
+==== Решение ====
+Точка $A$ лежит на продолжении одного из отрезков (на его оси), поэтому вклад этого отрезка равен нулю ($[d\vec l\times\vec r]=0$ на оси провода). Вклад даёт только второй (изогнутый) отрезок — как полубесконечный провод, видимый из $A$ под расстоянием $r_0=d\sin(\pi-\alpha/2)$... по формуле задачи 3 с $\alpha_1\to0$ (провод длинный) и $\alpha_2=\alpha$:
+$$r_0=d\sin(\pi/3)=\frac{d\sqrt3}2,\qquad \cos\alpha_2=\cos(2\pi/3)=-\tfrac12,$$
+$$B=\frac{\mu_0J}{4\pi r_0}\bigl(1-(-\tfrac12)\bigr)=\frac{\sqrt3\,\mu_0J}{4\pi d}.$$
-**7.** Найти магнитное поле тороидальной катушки. Радиус катушки R, ток через обмотку равен J, количество витков обмотки равно N.
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\sqrt3\,\mu_0J}{4\pi d}$, направлено перпендикулярно плоскости чертежа (правило правого винта).
-**8.** Электрон, имея скорость $\nu$, влетел в однородное магнитное поле с напряженностью поля B под углом $\alpha = 30^\circ$ к направлению вектора напряженности. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.
+===== Задача 7 =====
+==== Условие ====
+Найти магнитное поле тороидальной катушки. Радиус катушки $R$ (радиус осевой линии тора), ток через обмотку $J$, число витков обмотки $N$.
-**9.** По двум параллельным прямым проводам длиной $l = 2,5$ м каждый, находящимся на расстоянии $d = 20$ см друг от друга, текут одинаковые токи $J = 1$ кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.
+==== Решение ====
+По теореме о циркуляции для окружности радиуса $R$ внутри тора (концентричной оси тора), охватывающей полный ток $NJ$:
+$$2\pi RB=\mu_0NJ\ \Longrightarrow\ B=\frac{\mu_0NJ}{2\pi R}.$$
+Вне тора поле равно нулю.
-**10.** Плоский квадратный контур со стороной длиной a, по которому течет ток J, свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью B. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) $\varphi_1 = 90^\circ$, 2) $\varphi_2 = 3^\circ$. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
+==== Ответ ====
+$B=\dfrac{\mu_0NJ}{2\pi R}$ внутри тора, $B=0$ вне тора.
-==== Решения ====
+===== Задача 8 =====
+==== Условие ====
+Электрон со скоростью $v$ влетел в однородное магнитное поле $B$ под углом $\alpha=30^\circ$ к направлению поля. Определить радиус $R$ и шаг $h$ винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.
-=== Задача 1 ===
+==== Решение ====
+Скорость раскладывается на $v_\parallel=v\cos\alpha$ (вдоль поля, равномерное движение) и $v_\perp=v\sin\alpha$ (по окружности, сила Лоренца $F=|e|v_\perp B$ — центростремительная). Из $|e|v_\perp B=mv_\perp^2/R$:
+$$R=\frac{mv_\perp}{|e|B}=\frac{mv\sin\alpha}{|e|B}.$$
+Период обращения $T=2\pi m/(|e|B)$ не зависит от скорости; шаг винта — путь вдоль поля за один период:
+$$h=v_\parallel T=\frac{2\pi mv\cos\alpha}{|e|B}.$$
-Магнитное поле элемента тока $Id\vec{l}$ дается выражением:
+==== Ответ ====
+$R=\dfrac{mv\sin\alpha}{|e|B}$, $h=\dfrac{2\pi mv\cos\alpha}{|e|B}$.
-$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}$
+===== Задача 9 =====
+==== Условие ====
+По двум параллельным прямым проводам длиной $\ell=2{,}5$ м каждый, находящимся на расстоянии $d=20$ см друг от друга, текут одинаковые токи $J=1$ кА. Вычислить силу $F$ взаимодействия токов.
-где $d\vec{l}_\perp$ - составляющая вектора $d\vec{l}$ перпендикулярная к $\vec{r}$.
+==== Решение ====
+Поле одного провода в месте другого: $B_1=\dfrac{\mu_0J}{2\pi d}$. Сила Ампера на элемент второго провода: $dF=JB_1\,dl$ (поле перпендикулярно проводу), интегрируя по длине $\ell$:
+$$F=\frac{\mu_0J^2\ell}{2\pi d}.$$
+Подставляя числа: $F=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^6\cdot2{,}5}{2\pi\cdot0{,}2}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot10^6\cdot2{,}5}{0{,}2}=2{,}5$ Н.
-Магнитные силовые линии будут окружностями, центры которых расположены на оси провода.
+==== Ответ ====
+$F=\dfrac{\mu_0J^2\ell}{2\pi d}=2{,}5$ Н (притяжение, так как токи сонаправлены).
-В скалярной форме:
+===== Задача 10 =====
-$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} dl_\perp$
+==== Условие ====
+Плоский квадратный контур со стороной $a$, по которому течёт ток $J$, свободно установился в однородном магнитном поле $B$. Определить работу $A$ внешних сил при повороте контура (относительно оси через середины противоположных сторон) на угол: 1) $\varphi_1=90^\circ$; 2) $\varphi_2=3^\circ$. Ток в контуре поддерживается неизменным.
-где $d\alpha$ - угол, под которым вектор $d\vec{l}$ виден из точки наблюдения.
+==== Решение ====
+В положении равновесия магнитный момент $\vec p_m$ ($p_m=Ja^2$) сонаправлен с $\vec B$. При повороте на угол $\varphi$ момент сил $M=p_mB\sin\varphi$ стремится вернуть контур обратно; работа внешних сил против него: $dA=M\,d\varphi=Ja^2B\sin\varphi\,d\varphi$.
-$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cos\alpha d\alpha$
+**1)** $A=Ja^2B\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=Ja^2B$.
-Интегрирование от $\alpha = -\pi/2$ до $\alpha = +\pi/2$ дает:
+**2)** Для малого угла $\sin\varphi\approx\varphi$: $A=Ja^2B\displaystyle\int_0^{\varphi}\varphi\,d\varphi=\dfrac{Ja^2B}2\varphi^2$ (угол в радианах, $\varphi_2=3^\circ\approx0{,}0524$ рад).
-$B = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$
+==== Ответ ====
+) $A=Ja^2B$;  2) $A=\dfrac{Ja^2B}2\varphi_2^2\approx1{,}37\cdot10^{-3}\,Ja^2B$.
-=== Задача 2 ===
-Элемент тока $Id\vec{l}$ возбуждает магнитное поле $d\vec{B}$, перпендикулярное к радиусу-вектору $\vec{r}$.
-Осевая составляющая:
-$dB_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \sin\alpha dl$
-Интегрирование по контуру:
-$B_z = B = \frac{\mu_0 I a}{2r^2} \sin\alpha = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}$
-=== Задача 3 ===
-Решение в системе СИ.
-Закон Био-Савара-Лапласа:
-$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\sin\alpha}{r^2} dl \quad (1)$
-Выразим $dl$ через $d\alpha$:
-$dl = \frac{r d\alpha}{\sin\alpha}$
-Подставим в (1):
-$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} d\alpha$
-Но $r = \frac{r_0}{\sin\alpha}$, тогда:
-$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} \sin\alpha d\alpha \quad (2)$
-Интегрируем от $\alpha_1$ до $\alpha_2$:
-$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sin\alpha d\alpha = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \quad (3)$
-При симметричном расположении:
-$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_0} \cos\alpha_1$
-=== Задача 4 ===
-Поле от элемента соленоида:
-$dB_z = \frac{\mu_0 a^2 I n}{2(a^2 + z^2)^{3/2}} dz$
-Переход к интегрированию по углу:
-$z = a \cdot \cot\alpha, \quad dz = -\frac{a d\alpha}{\sin^2\alpha}$
-$B_z = -\frac{\mu_0 I n}{2} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sin\alpha d\alpha = \frac{\mu_0 I n}{2} (\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1)$
-Для полубесконечного соленоида:
-$B_z = \frac{\mu_0 I n}{2}$
-Для бесконечного соленоида:
-$B_z = \mu_0 I n$
-=== Задача 5 ===
-Ответ: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (1 + \cos\alpha)$
-=== Задача 6 ===
-Решение в системе СИ.
-$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$
-При $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 = 2\pi/3$, $r_0 = d \sqrt{3}/2$:
-$B = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{4\pi d}$
-=== Задача 7 ===
-Циркуляция магнитного поля:
-$2\pi R B = \mu_0 N I$
-$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}$
-=== Задача 8 ===
-Решение в системе СИ.
-Сила Лоренца:
-$F = |e| v B \sin\alpha$
-Радиус винтовой линии:
-$R = \frac{m v_\perp}{|e| B} = \frac{m v \sin\alpha}{|e| B}$
-Шаг винтовой линии:
-$h = v_\parallel T = \frac{2\pi m v \cos\alpha}{|e| B}$
-=== Задача 9 ===
-Решение в системе СИ.
-Магнитная индукция:
-$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$
-Сила Ампера:
-$dF_{12} = I_2 B_1 dl_2$
-$F_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \int_0^{l} dl_2 = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi d} l$
-=== Задача 10 ===
-Решение в системе СИ.
-Момент сил:
-$\vec{M} = [\vec{p}_m \times \vec{B}] \quad (1)$
-Работа:
-$dA = M d\varphi \quad (2)$
-$dA = I a^2 B \sin\varphi d\varphi$
-$A = I a^2 B \int_0^{\varphi} \sin\varphi d\varphi \quad (3)$
-Для $\varphi = 90^\circ$:
-$A = I a^2 B$
-Для $\varphi = 3^\circ$:
-$A = \frac{I a^2 B \varphi^2}{2}$