Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- mmf2-4-1 [2026/03/18 07:19] – создано root
+++ mmf2-4-1 [2026/03/18 07:33] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-==== Решение задачи ====
+===== Решение задачи =====
-**Условие:** Найти результирующее колебание при сложении \(N\) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \(A\), частоты \(\omega\), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\).
+**Условие:** Найти результирующее колебание при сложении \( N \) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \( A \), частоты \( \omega \), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \( \varphi_0 \).
 **Дано:**
-  * Количество колебаний: \(N\)
+  * Количество колебаний: \( N \).
-  * Амплитуда каждого: \(A\)
+  * Амплитуда каждого: \( A \).
-  * Круговая частота: \(\omega\)
+  * Круговая частота: \( \omega \).
-  * Фаза первого колебания: \(\varphi_1\)
+  * Фаза первого колебания: \( \varphi_1 \).
-  * Шаг прогрессии фаз: \(\varphi_0\)
+  * Шаг прогрессии фаз: \( \varphi_0 \).
-  * Фаза \(n\)-го колебания: \(\varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0\)
+  * Фаза \( n \)-го колебания: \( \varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0 \).
 **Найти:**
@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 ---
-**Ход решения**
+==== Ход решения ====
-. **Запись суммы колебаний**
+=== Запись суммы колебаний ===
-   Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний:
+Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний:
-   $$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_1) + A\cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \dots + A\cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$
+$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \cdots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$
-. **Комплексное представление**
+=== Комплексное представление ===
-   Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда:
+Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда:
-   $$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left(1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0}\right) \right].$$
+$$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].$$
-. **Сумма геометрической прогрессии**
+=== Сумма геометрической прогрессии ===
-   Выражение в скобках — сумма \(N\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\):
+Выражение в скобках — сумма \( N \) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\):
-   $$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$
+$$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$
-. **Модуль суммы (амплитуда)**
+=== Модуль суммы (амплитуда) ===
-   Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды:
+Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды:
-   $$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$
+$$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$
-   Используем тождество: \(|1 - e^{i\theta}| = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\). Тогда:
+Используем тождество: \(|1 - e^{i\theta}| = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\). Тогда:
-   $$|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.$$
+$$|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.$$
-   Подставляем:
+Подставляем:
-   $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$
+$$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$
-. **Интенсивность результирующего колебания**
+=== Интенсивность результирующего колебания ===
-   Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то:
+Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то:
-   $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$
+$$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$
-. **Анализ особых случаев**
+=== Анализ особых случаев ===
-   * Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации.
+  * Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации.
-   * Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы).
+  * Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы).
-   * Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.
+  * Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.
 ---
-**Ответ**
+==== Ответ ====
 Результирующая амплитуда \(N\) когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\), равна:
 $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$