mmf2-4-1

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
mmf2-4-1 [2026/03/18 07:25] – rootmmf2-4-1 [2026/03/18 07:33] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-==== Решение задачи ====+===== Решение задачи =====
  
-**Условие:** Найти результирующее колебание при сложении \(N\) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \(A\), частоты \(\omega\), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\).+**Условие:** Найти результирующее колебание при сложении \( N \) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \( A \), частоты \( \omega \), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \( \varphi_0 \).
  
 **Дано:** **Дано:**
-* Количество колебаний: \(N\) +  * Количество колебаний: \( N \). 
-* Амплитуда каждого: \(A\) +  * Амплитуда каждого: \( A \). 
-* Круговая частота: \(\omega\) +  * Круговая частота: \( \omega \). 
-* Фаза первого колебания: \(\varphi_1\) +  * Фаза первого колебания: \( \varphi_1 \). 
-* Шаг прогрессии фаз: \(\varphi_0\) +  * Шаг прогрессии фаз: \( \varphi_0 \). 
-* Фаза \(n\)-го колебания: \(\varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0\)+  * Фаза \( n \)-го колебания: \( \varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0 \).
  
 **Найти:** **Найти:**
-* Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).+  * Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).
  
 --- ---
  
-**Ход решения**+==== Ход решения ====
  
-# Запись суммы колебаний+=== Запись суммы колебаний ===
 Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний: Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний:
-$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_1) + A\cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \dots + A\cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$+$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \cdots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$
  
-# Комплексное представление+=== Комплексное представление ===
 Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда: Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда:
-$$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left(1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0}\right) \right].$$+$$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].$$
  
-# Сумма геометрической прогрессии +=== Сумма геометрической прогрессии === 
-Выражение в скобках — сумма \(N\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\): +Выражение в скобках — сумма \( N \) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\): 
-$$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$+$$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$
  
-# Модуль суммы (амплитуда)+=== Модуль суммы (амплитуда) ===
 Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды: Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды:
 $$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$ $$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$
Строка 38: Строка 38:
 $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$ $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$
  
-# Интенсивность результирующего колебания+=== Интенсивность результирующего колебания ===
 Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то: Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то:
 $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$ $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$
  
-# Анализ особых случаев +=== Анализ особых случаев === 
-Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации. +  * Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации. 
-Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы). +  * Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы). 
-Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.+  * Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.
  
 --- ---
  
-**Ответ** +==== Ответ ====
 Результирующая амплитуда \(N\) когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\), равна: Результирующая амплитуда \(N\) когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\), равна:
 $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$ $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$