Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- mmf2-4-1 [2026/03/18 07:27] – root
+++ mmf2-4-1 [2026/03/18 07:33] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-# Решение задачи
+===== Решение задачи =====
 **Условие:** Найти результирующее колебание при сложении \( N \) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \( A \), частоты \( \omega \), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \( \varphi_0 \).
 **Дано:**
-- Количество колебаний: \( N \)
+  * Количество колебаний: \( N \).
-- Амплитуда каждого: \( A \)
+  * Амплитуда каждого: \( A \).
-- Круговая частота: \( \omega \)
+  * Круговая частота: \( \omega \).
-- Фаза первого колебания: \( \varphi_1 \)
+  * Фаза первого колебания: \( \varphi_1 \).
-- Шаг прогрессии фаз: \( \varphi_0 \)
+  * Шаг прогрессии фаз: \( \varphi_0 \).
-- Фаза \( n \)-го колебания: \( \varphi_n = \varphi_1 + (n - 1)\varphi_0 \)
+  * Фаза \( n \)-го колебания: \( \varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0 \).
 **Найти:**
-- Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).
+  * Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).
 ---
-## Ход решения
+==== Ход решения ====
-### Запись суммы колебаний
+=== Запись суммы колебаний ===
 Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний:
+$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \cdots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$
-\[
+=== Комплексное представление ===
-x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \dots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N - 1)\varphi_0\bigr).
-\]
-### Комплексное представление
 Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда:
+$$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].$$
-\[
+=== Сумма геометрической прогрессии ===
-x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].
-\]
-### Сумма геометрической прогрессии
 Выражение в скобках — сумма \( N \) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\):
+$$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$
-\[
+=== Модуль суммы (амплитуда) ===
-S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \dots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.
-\]
-### Модуль суммы (амплитуда)
 Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды:
+$$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$
-\[
-A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.
-\]
 Используем тождество: \(|1 - e^{i\theta}| = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\). Тогда:
+$$|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.$$
-\[
-|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.
-\]
 Подставляем:
+$$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$
-\[
+=== Интенсивность результирующего колебания ===
-A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.
-\]
-### Интенсивность результирующего колебания
 Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то:
+$$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$
-\[
+=== Анализ особых случаев ===
-I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.
+  * Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации.
-\]
+  * Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы).
+  * Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.
-### Анализ особых случаев
-- Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации.
-- Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы).
-- Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.
 ---
-## Ответ
+==== Ответ ====
 Результирующая амплитуда \(N\) когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\), равна:
+$$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$
-\[
-A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.
-\]
 Интенсивность результирующего колебания:
+$$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}},$$
-\[
-I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}},
-\]
 где \(I_0\) — интенсивность одного колебания.