Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res1.17 [2020/02/17 07:05] – root
+++ optics:res1.17 [2024/03/12 06:09] (текущий) – root
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 На границе раздела электрические и магнитные поля имеют только тангенциальную
 компоненту. Для определенности рассмотрим только одну поляризацию,
-так что падающая волна --- $Ee^{i(kz-\omega t)}$, отражённая --- $E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$ и
+так что падающая волна --- $Ee^{i(kz-\omega t)},$ отражённая --- $E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$ и
 прошедшая --- $E_{2}e^{i(k_{2}z-\omega t)}$. Запишем условие на границе
 для тангенциальных компонент полей, но так как имеются только тангенциальные
 компоненты, то
-$E+E_{1}=E_{2}$, $H+H_{1}=H_{2}$
+$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ H+H_{1}=H_{2}.$$
 Запишем магнитное поле через электрическое:
-$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H}$,
+$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$
 вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$
 запишем
+$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H},$$
-$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H}$, где
+где
-$\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ \textemdash{} направление распространения
+$\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ --- направление распространения
-волны, тогда выбрав за направление $z$ направление распространения
+волны. Выбрав за направление $z$ направление распространения
 падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:
-$E-E_{1}=\sqrt{\varepsilon_{2}}E_{2}=n_{2}E_{2},$ где $n_{2}$ \textemdash{}
+$$E-E_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}.$$
-показатель преломления второй среды.
 Тогда из системы
-$\left\{ \begin{array}{l}
+$$
+\left\{ \begin{array}{l}
 E+E_{1}=E_{2}\\
 E-E_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}
-\end{array}\right.$
+\end{array}\right.
+$$
 найдём
+$$E_{1}=E\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}},$$
-$E_{1}=E\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}$,
+и
-$E_{2}=\frac{2E}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}$
+$$E_{2}=\frac{2E}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}.$$
 Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать
 отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга
-$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}$
+$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E^{2}\vec{n}.$$
-Коэффициент отражения: $\rho_{r}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}\right)^{2}$,
-коэффициент прохождения \textemdash{} $\rho_{d}=\frac{S_{2}}{S}=\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}^{2}}{E^{2}}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{\left(1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\right)^{2}}$
-легко проверить, что для коэффициентов справедливо $\rho_{r}+\rho_{d}=1$,
+Коэффициент отражения:
+$$\rho_{r}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}\right)^{2},$$
+коэффициент прохождения
+$$\rho_{d}=\frac{S_{2}}{S}=\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}^{2}}{E^{2}}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{\left(1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\right)^{2}}.$$
+Легко проверить, что для коэффициентов справедливо $\rho_{r}+\rho_{d}=1$,
 что эквивалентно закону сохранения энергии.