Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res1.25 [2020/02/17 09:44] – создано root
+++ optics:res1.25 [2020/02/21 17:14] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-.25. {{:optics:выделение_177.png?direct&150 |}} Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $d,$ под углом $\varphi ,$ большим угла полного внутреннего отражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.
+.25. {{:optics:выделение_177.png?direct&150 |}} Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $d,$ под углом $\alpha ,$ большим угла полного внутреннего отражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.
 -----
+На границе раздела электрическое поле имеет только тангенциальную
+компоненту.
+Падающая волна --- $E\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
+отражённая --- $E_{1}\exp\left(-i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
+прошедшая --- $E_{2}\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$.
+В зазоре так же рассмотрим две волны:
+падающую --- $A_{1}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$
+и отражённую --- $A_{2}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$.
+Запишем условие на границе для тангенциальных компонент полей. На
+верхней границе для электрического поля
+$$E+E_{1}=A_{1}+A_{2},$$
+для магнитного
+$$\left(H+H_{1}\right)\cos\alpha=\left(B_{2}+B_{1}\right)\cos\beta $$
+в момент времени $t=0$ принимая, что на границе $z=0$. На нижней
+границе $z=d$ и для электрического поля выполнено:
+$$A_{1}\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+A_{2}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)=E_{2},$$
+для магнитного:
+$$\left(B\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+B_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=H_{2}\exp\left(ik_{1}\cos\alpha d\right)\cos\alpha .$$
+Запишем магнитное поле через электрическое используя упрощение $\mu_{i}=1:$
+$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega}{c}\vec{H},$$
+тогда граничное условие для магнитного поля перепишем в виде:
+$$
+k_{1}\left(E-E_{1}\right)\cos\alpha=k_{2}\left(A-A_{1}\right)\cos\beta.
+$$
+Для второй границы
+$$
+k_{2}\left(A\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)-A_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=k_{1}E_{2}\cos\left(k_{1}\cos\alpha d\right)\cos\beta.
+$$
+Обратим внимание, что для волнового вектора справедливо
+$$k_{1}\cos\alpha=k_{1z}=\sqrt{k_{1}^{2}-k_{1x}^{2}},$$
+$$k_{2}\cos\beta=k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{2x}^{2}},$$ а на границе
+для волнового вектора выполнено $k_{1x}=k_{2x}$. Следовательно
+$$k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}.$$
+Перепишем полученную систему уравнений
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+E+E_{1}=A+A_{1}\\
+k_{1}\left(E-E_{1}\right)\cos\alpha=k_{2}\left(A-A_{1}\right)\cos\beta\\
+A_{1}\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+A_{2}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)=E_{2}\\
+\left(B\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+B_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=H_{2}\cos\alpha
+\end{array}\right.$$
+при помощи матрицы коэффициентов
+$$\left(\begin{array}{cccc|c}
+A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\ \hline
+& 1 & -1 & 0 & E\\
+k_{2z} & -k_{2z} & k_{1z} & 0 & Ek_{1z}\\
+e^{ik_{2z}d} & e^{-ik_{2z}d} & 0 & -1 & 0\\
+e^{ik_{2z}d}k_{2z} & -e^{-ik_{2z}d}k_{2z} & 0 & -k_{1z} & 0
+\end{array}\right)$$
+для удобства введя переобозначения:
+$$\left(\begin{array}{cccc|c}
+A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\ \hline
+& 1 & -1 & 0 & E\\
+x & -x & y & 0 & Ey\\
+t & t^{-1} & 0 & -1 & 0\\
+xt & -xt^{-1} & 0 & -y & 0
+\end{array}\right).$$
+Для вычисления $E_2$ найдём два определителя:
+$$
+\Delta=\left|\begin{array}{cccc}
+& 1 & -1 & 0\\
+x & -x & y & 0\\
+t & t^{-1} & 0 & -1\\
+xt & -xt^{-1} & 0 & -y
+\end{array}\right|=
+$$
+$$
+\left|\begin{array}{ccc}
+& 1 & -1\\
+x & -x & y\\
+xt & -xt^{-1} & 0
+\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ccc}
+& 1 & -1\\
+x & -x & y\\
+t & t^{-1} & 0\\
+\end{array}\right|=$$
+$$(x^{2}t^{-1}+yxt)-(x^{2}t-xyt^{-1})-y(-xt^{-1}+yt-xt-yt^{-1})=
+$$
+$$(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)
+$$
+и заменяя последний столбец, найдём второй определитель
+$$
+\Delta_{4}=\left|\begin{array}{cccc}
+& 1 & -1 & E\\
+x & -x & y & Ey\\
+t & t^{-1} & 0 & 0\\
+xt & -xt^{-1} & 0 & 0
+\end{array}\right|=
+$$
+$$-E\left|\begin{array}{ccc}
+x & -x & y\\
+t & t^{-1} & 0\\
+xt & -xt^{-1} & 0
+\end{array}\right|+Ey\left|\begin{array}{ccc}
+& 1 & -1\\
+t & t^{-1} & 0\\
+xt & -xt^{-1} & 0
+\end{array}\right|=4Eyx .
+$$
+Таким образом
+$$
+E_{2}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{4Eyx}{(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)}=
+$$
+$$
+\frac{4Ek_{2z}k_{1z}}{(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})(e^{-ik_{2z}d}-e^{ik_{2z}d})+2k_{2z}k_{1z}(e^{-ik_{2z}d}+e^{ik_{2z}d})}=
+$$
+$$\frac{2Ek_{2z}k_{1z}}{2k_{2z}k_{1z}\cos\left(k_{2z}d\right)-i(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})\sin\left(k_{2z}d\right)}.$$
+вспомним, что
+$$k_{1x}=k_{1}\sin\alpha=\frac{\omega}{c}n_{1}\sin\alpha,$$
+$$k_{1z}=\frac{\omega}{c}n_{1}\cos\alpha$$ и
+$$k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha},$$
+но при полном внутреннем отражении выполнено
+$$n_{2}<n_{1}\sin\alpha,$$
+тогда
+$$k_{2z}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha-n_{2}^{2}}=\pm i\varkappa .$$
+В этом случае выражение для поля
+$$
+E_{2}=\frac{i2E\varkappa k_{1z}}{2k_{2z}i\varkappa\cosh\left(\varkappa d\right)-(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})\sinh\left(\varkappa d\right)},$$
+тогда коэффициент прохождения:
+$$
+\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}=
+$$
+$$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}.$$
+/* Окончательно:
+$$\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}=$$
+$$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}.$$
+*/