Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| optics:res1.25 [2020/02/21 16:56] – root | optics:res1.25 [2020/02/21 17:14] (текущий) – root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 75: | Строка 75: | ||
| Для вычисления $E_2$ найдём два определителя: | Для вычисления $E_2$ найдём два определителя: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \Delta=\left|\begin{array}{ccccc} | + | \Delta=\left|\begin{array}{cccc} |
| 1 & 1 & -1 & 0\\ | 1 & 1 & -1 & 0\\ | ||
| x & -x & y & 0\\ | x & -x & y & 0\\ | ||
| Строка 83: | Строка 83: | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \left|\begin{array}{ccccc} | + | \left|\begin{array}{ccc} |
| - | \\ | + | |
| 1 & 1 & -1\\ | 1 & 1 & -1\\ | ||
| x & -x & y\\ | x & -x & y\\ | ||
| - | \\ | ||
| xt & -xt^{-1} & 0 | xt & -xt^{-1} & 0 | ||
| - | \end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ccccc} | + | \end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ccc} |
| - | \\ | + | |
| 1 & 1 & -1\\ | 1 & 1 & -1\\ | ||
| x & -x & y\\ | x & -x & y\\ | ||
| t & t^{-1} & 0\\ | t & t^{-1} & 0\\ | ||
| - | \\ | ||
| \end{array}\right|=$$ | \end{array}\right|=$$ | ||
| - | + | $$(x^{2}t^{-1}+yxt)-(x^{2}t-xyt^{-1})-y(-xt^{-1}+yt-xt-yt^{-1})= | |
| - | $(x^{2}t^{-1}+yxt)-(x^{2}t-xyt^{-1})-y(-xt^{-1}+yt-xt-yt^{-1})=(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)$ | + | $$ |
| - | + | $$(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t) | |
| - | найдём второй | + | $$ |
| - | + | и заменяя последний столбец, | |
| - | $\left|\begin{array}{ccccc} | + | $$ |
| - | A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\ | + | \Delta_{4}=\left|\begin{array}{cccc} |
| - | 1 & 1 & -1 & 0 & E\\ | + | |
| - | x & -x & y & 0 & Ey\\ | + | |
| - | t & t^{-1} & 0 & -1 & 0\\ | + | |
| - | xt & -xt^{-1} & 0 & -y & 0 | + | |
| - | \end{array}\right|\to\Delta_{4}=\left|\begin{array}{ccccc} | + | |
| - | \\ | + | |
| 1 & 1 & -1 & E\\ | 1 & 1 & -1 & E\\ | ||
| x & -x & y & Ey\\ | x & -x & y & Ey\\ | ||
| t & t^{-1} & 0 & 0\\ | t & t^{-1} & 0 & 0\\ | ||
| xt & -xt^{-1} & 0 & 0 | xt & -xt^{-1} & 0 & 0 | ||
| - | \end{array}\right|=-E\left|\begin{array}{ccccc} | + | \end{array}\right|= |
| - | \\ | + | $$ |
| - | \\ | + | $$-E\left|\begin{array}{ccc} |
| x & -x & y\\ | x & -x & y\\ | ||
| t & t^{-1} & 0\\ | t & t^{-1} & 0\\ | ||
| xt & -xt^{-1} & 0 | xt & -xt^{-1} & 0 | ||
| - | \end{array}\right|+Ey\left|\begin{array}{ccccc} | + | \end{array}\right|+Ey\left|\begin{array}{ccc} |
| - | \\ | + | |
| 1 & 1 & -1\\ | 1 & 1 & -1\\ | ||
| - | \\ | ||
| t & t^{-1} & 0\\ | t & t^{-1} & 0\\ | ||
| xt & -xt^{-1} & 0 | xt & -xt^{-1} & 0 | ||
| - | \end{array}\right|=4Eyx$ | + | \end{array}\right|=4Eyx |
| + | $$ | ||
| Таким образом | Таким образом | ||
| - | + | $$ | |
| - | $E_{2}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{4Eyx}{(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)}=\frac{4Ek_{2z}k_{1z}}{(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})(e^{-ik_{2z}d}-e^{ik_{2z}d})+2k_{2z}k_{1z}(e^{-ik_{2z}d}+e^{ik_{2z}d})}$ | + | E_{2}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{4Eyx}{(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)}= |
| - | + | $$ | |
| - | $=\frac{2Ek_{2z}k_{1z}}{2k_{2z}k_{1z}\cos\left(k_{2z}d\right)-i(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})\sin\left(k_{2z}d\right)}$ | + | $$ |
| - | + | \frac{4Ek_{2z}k_{1z}}{(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})(e^{-ik_{2z}d}-e^{ik_{2z}d})+2k_{2z}k_{1z}(e^{-ik_{2z}d}+e^{ik_{2z}d})}= | |
| - | вспомним, | + | $$ |
| - | $k_{1z}=\frac{\omega}{c}n_{1}\cos\alpha$ и $k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha}, | + | $$\frac{2Ek_{2z}k_{1z}}{2k_{2z}k_{1z}\cos\left(k_{2z}d\right)-i(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})\sin\left(k_{2z}d\right)}.$$ |
| - | но при полном внутреннем отражении $n_{2}< | + | вспомним, |
| - | $k_{2z}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha-n_{2}^{2}}=\pm i\varkappa$. | + | $$k_{1x}=k_{1}\sin\alpha=\frac{\omega}{c}n_{1}\sin\alpha, |
| + | $$k_{1z}=\frac{\omega}{c}n_{1}\cos\alpha$$ и | ||
| + | $$k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha}, | ||
| + | но при полном внутреннем отражении | ||
| + | $$n_{2}< | ||
| + | тогда | ||
| + | $$k_{2z}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha-n_{2}^{2}}=\pm i\varkappa .$$ | ||
| В этом случае выражение для поля | В этом случае выражение для поля | ||
| - | + | $$ | |
| - | $E_{2}=\frac{i2E\varkappa k_{1z}}{2k_{2z}i\varkappa\cosh\left(\varkappa d\right)-(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})\sinh\left(k_{2z}d\right)}$, | + | E_{2}=\frac{i2E\varkappa k_{1z}}{2k_{2z}i\varkappa\cosh\left(\varkappa d\right)-(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})\sinh\left(\varkappa |
| тогда коэффициент прохождения: | тогда коэффициент прохождения: | ||
| + | $$ | ||
| + | \rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}= | ||
| + | $$ | ||
| + | $$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}.$$ | ||
| - | $\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}=\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}$ | + | /* Окончательно: |
| - | + | ||
| - | окончательно: | + | |
| - | $\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}=\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}$ | + | $$\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa |
| + | $$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa | ||
| + | */ | ||