optics:res1.37

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
optics:res1.37 [2020/03/13 10:11] – создано rootoptics:res1.37 [2020/03/20 18:22] (текущий) – [а)] root
Строка 10: Строка 10:
 ===== а) ===== ===== а) =====
  
-Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков: линза + пустой промежуток, тогда матрица преобразования такого блока:+Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- "линза + пустой промежуток", тогда матрица преобразования такого блока: 
 +$$ 
 +M=\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & 0\\ 
 +-\frac{1}{f} & 1 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & d\\ 
 +0 & 1 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & d\\ 
 +-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 
 +\end{array}\right), 
 +$$  
 +а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей 
 +$$ 
 +M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & d\\ 
 +-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 
 +\end{array}\right)^{N}. 
 +$$  
 +Преобразование на $m$--том шаге можно записать 
 +в виде: 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{c} 
 +x_{m}\\ 
 +\alpha_{m} 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & d\\ 
 +-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
 +x_{m-1}\\ 
 +\alpha_{m-1} 
 +\end{array}\right), 
 +$$ 
 +а на $m+1$--ом шаге: 
 +$$\left(\begin{array}{c} 
 +x_{m+1}\\ 
 +\alpha_{m+1} 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & d\\ 
 +-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
 +x_{m}\\ 
 +\alpha_{m} 
 +\end{array}\right). 
 +$$ 
 + 
 +Запишем преобразование в виде системы: 
 +$$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$ 
 +$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$ 
 +$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$ 
 +$$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$ 
 + 
 +Из первого выразим угол 
 + 
 +$$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$ 
 + 
 +и подставим его во второе равенство 
 + 
 +$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)= 
 +$$ 
 +$$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$ 
 + 
 +и после подставки в третье равенство получим выражение 
 + 
 +$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$ 
 + 
 +являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного 
 +условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ 
 +тогда после подстановки придём к квадратному уравнению 
 +$h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение 
 +$$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$ 
 + 
 +Решение будет периодическим, если  
 +$$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$ 
 +где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$. 
 + 
 +Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ --- движение неустойчиво. 
 + 
 +/* Таким образом условие на существование периодического решения: $\frac{b}{c}\leq 1$, т.о. 
 +$$\frac{b}{c}=\leq 1$$ 
 + 
 + 
 +Действительно, можно искать решение сразу в виде 
 + 
 +$$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$$  
 +тогда, подставив в 
 +уравнение получим: 
 + 
 +$$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$ 
 +*/