Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res1.37 [2020/03/14 04:48] – [а)] root
+++ optics:res1.37 [2020/03/20 18:22] (текущий) – [а)] root
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- "линза + пустой промежуток", тогда матрица преобразования такого блока:
+$$
+M=\left(\begin{array}{cc}
+& 0\\
+-\frac{1}{f} & 1
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
+& d\\
+& 1
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+& d\\
+-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
+\end{array}\right),
+$$
+а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей
+$$
+M_{N}=\left(\begin{array}{cc}
+& d\\
+-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
+\end{array}\right)^{N}.
+$$
+Преобразование на $m$--том шаге можно записать
+в виде:
+$$
+\left(\begin{array}{c}
+x_{m}\\
+\alpha_{m}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+& d\\
+-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x_{m-1}\\
+\alpha_{m-1}
+\end{array}\right),
+$$
+а на $m+1$--ом шаге:
+$$\left(\begin{array}{c}
+x_{m+1}\\
+\alpha_{m+1}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+& d\\
+-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x_{m}\\
+\alpha_{m}
+\end{array}\right).
+$$
+Запишем преобразование в виде системы:
+$$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$
+$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$
+$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$
+$$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$
+Из первого выразим угол
+$$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$
+и подставим его во второе равенство
+$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=
+$$
+$$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$
+и после подставки в третье равенство получим выражение
+$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$
+являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного
+условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$
+тогда после подстановки придём к квадратному уравнению
+$h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение
+$$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$
+Решение будет периодическим, если
+$$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$
+где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$.
+Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ --- движение неустойчиво.
+/* Таким образом условие на существование периодического решения: $\frac{b}{c}\leq 1$, т.о.
+$$\frac{b}{c}=\leq 1$$
+Действительно, можно искать решение сразу в виде
+$$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$$
+тогда, подставив в
+уравнение получим:
+$$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$
+*/