Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| optics:res1.37 [2020/03/16 07:25] – root | optics:res1.37 [2020/03/20 18:22] (текущий) – [а)] root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 11: | Строка 11: | ||
| Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- " | Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- " | ||
| - | + | $$ | |
| - | $M=\left(\begin{array}{cc} | + | M=\left(\begin{array}{cc} |
| 1 & 0\\ | 1 & 0\\ | ||
| -\frac{1}{f} & 1 | -\frac{1}{f} & 1 | ||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
| 1 & d\\ | 1 & d\\ | ||
| -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 | -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 | ||
| - | \end{array}\right)$ | + | \end{array}\right), |
| - | + | $$ | |
| - | тогда прохождения $N$ таких блоков опишется матрицей | + | а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей |
| - | + | $$ | |
| - | $M_{N}=\left(\begin{array}{cc} | + | M_{N}=\left(\begin{array}{cc} |
| 1 & d\\ | 1 & d\\ | ||
| -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 | -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 | ||
| - | \end{array}\right)^{N}$ | + | \end{array}\right)^{N}. |
| - | + | $$ | |
| - | при этом преобразование на $m$\textendash | + | Преобразование на $m$--том шаге можно записать |
| в виде: | в виде: | ||
| - | + | $$ | |
| - | $\left(\begin{array}{c} | + | \left(\begin{array}{c} |
| x_{m}\\ | x_{m}\\ | ||
| \alpha_{m} | \alpha_{m} | ||
| Строка 42: | Строка 42: | ||
| x_{m-1}\\ | x_{m-1}\\ | ||
| \alpha_{m-1} | \alpha_{m-1} | ||
| - | \end{array}\right)$, | + | \end{array}\right), |
| - | + | $$ | |
| - | а на $m+1$\textendash | + | а на $m+1$--ом шаге: |
| - | + | $$\left(\begin{array}{c} | |
| - | $\left(\begin{array}{c} | + | |
| x_{m+1}\\ | x_{m+1}\\ | ||
| \alpha_{m+1} | \alpha_{m+1} | ||
| Строка 55: | Строка 54: | ||
| x_{m}\\ | x_{m}\\ | ||
| \alpha_{m} | \alpha_{m} | ||
| - | \end{array}\right)$. | + | \end{array}\right). |
| + | $$ | ||
| Запишем преобразование в виде системы: | Запишем преобразование в виде системы: | ||
| + | $$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1}; | ||
| + | $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}; | ||
| + | $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}; | ||
| + | $$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$ | ||
| - | $x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1}$ | + | Из первого выразим угол |
| - | $\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}$ | + | $$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$ |
| - | $x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}$ | + | и подставим его во второе равенство |
| - | $\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}$ | + | $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)= |
| + | $$ | ||
| + | $$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$ | ||
| - | тогда из первого выразим | + | и после подставки в третье равенство получим |
| - | $\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$ | + | $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1}, |
| - | и подставим во второе | + | являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного |
| + | условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m}, | ||
| + | тогда после подстановки придём к квадратному уравнению | ||
| + | $h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение | ||
| + | $$h_{\{1, | ||
| - | $\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{f}\right)x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$ | + | Решение будет периодическим, |
| + | $$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$ | ||
| + | где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$. | ||
| - | а теперь, после подставки в третье равенство получим соотношение | + | Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|> |
| - | $x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}+\left(1-\frac{2d}{f}\right)x_{m-1}=2bx_{m}+c^{2}x_{m-1}.$ | + | /* Таким образом условие на существование периодического решения: |
| + | $$\frac{b}{c}=\leq 1$$ | ||
| - | являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного | ||
| - | условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m}, | ||
| - | тогда после подстановки придём к уравнению: | ||
| - | |||
| - | $h^{2}=2bh+c^{2}$ \textemdash{} квадратное уравнение. Его решение | ||
| - | $h_{\{1, | ||
| - | |||
| - | Решение будет периодическим, | ||
| - | где $\cos\varphi=\frac{b}{c}$. | ||
| Действительно, | Действительно, | ||
| - | $x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right), | + | $$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right), |
| + | тогда, подставив в | ||
| уравнение получим: | уравнение получим: | ||
| - | $\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$ | + | $$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$ |
| + | */ | ||