optics:res1.37

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
optics:res1.37 [2020/03/16 07:28] – rootoptics:res1.37 [2020/03/20 18:22] (текущий) – [а)] root
Строка 28: Строка 28:
 1 & d\\ 1 & d\\
 -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
-\end{array}\right)^{N},+\end{array}\right)^{N}.
 $$  $$ 
-при этом преобразование на $m$--том шаге можно записать+Преобразование на $m$--том шаге можно записать
 в виде: в виде:
 $$ $$
Строка 58: Строка 58:
  
 Запишем преобразование в виде системы: Запишем преобразование в виде системы:
-$$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1}$$ +$$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$ 
-$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}$$ +$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$ 
-$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}$$ +$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$ 
-$$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}$$+$$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$
  
-тогда из первого выразим+Из первого выразим угол
  
 $$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$ $$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$
  
-и подставим во второе+и подставим его во второе равенство
  
-$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{f}\right)x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$+$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)= 
 +$$ 
 +$$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$
  
-а теперь, после подставки в третье равенство получим соотношение+и после подставки в третье равенство получим выражение
  
-$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}+\left(1-\frac{2d}{f}\right)x_{m-1}=2bx_{m}+c^{2}x_{m-1}.$$+$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$
  
 являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного
 условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$
-тогда после подстановки придём к уравнению: +тогда после подстановки придём к квадратному уравнению 
-$h^{2}=2bh+c^{2}$ --- квадратное уравнение. Его решение +$h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение 
-$$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-c^{2}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}.$$+$$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$
  
 Решение будет периодическим, если  Решение будет периодическим, если 
-$$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}=ce^{\pm i\varphi},$$ +$$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$ 
-где $\cos\varphi=\frac{b}{c}$.+где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$. 
 + 
 +Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ --- движение неустойчиво. 
 + 
 +/* Таким образом условие на существование периодического решения: $\frac{b}{c}\leq 1$, т.о. 
 +$$\frac{b}{c}=\leq 1$$ 
  
 Действительно, можно искать решение сразу в виде Действительно, можно искать решение сразу в виде
Строка 92: Строка 100:
  
 $$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$ $$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$
 +*/