Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.17 [2025/02/13 14:44] – root
+++ optics:res2.17 [2025/02/13 14:49] (текущий) – root
@@ Строка 31: / Строка 31: @@
 $$
 </WRAP>
-Для вывода формулы Рэлея, связывающей групповую и фазовую скорости через производные от $\frac{dv}{d\lambda}$ и $\frac{dn}{d\lambda}$, рассмотрим волновой пакет, состоящий из множества монохроматических волн с различными частотами.
-. **Фазовая скорость** $(v_{ph})$ определяется как скорость распространения фазы волны и связана с длиной волны $(\lambda)$ следующим образом:
-   $$ v_{ph} = \frac{\omega}{k}, $$
-   где $( \omega )$ — угловая частота, а $( k )$ — волновое число.
-. **Групповая скорость** $( v_g )$ представляет собой скорость перемещения центра масс (центра) волнового пакета и может быть выражена через фазовую скорость следующим образом:
-   $$ v_g = \frac{d\omega}{dk}. $$
-. Теперь нам нужно выразить эти скорости через $(\frac{dv}{d\lambda})$ и $(\frac{dn}{d\lambda})$. Для этого воспользуемся следующими соотношениями:
-    - Связь частоты $(\omega)$ и длины волны $(\lambda)$:
-        $$ \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, $$
-    где $(c)$ — скорость света в вакууме.
-    - Волновое число $(k)$ связано с длиной волны следующим образом:
-         $$ k = \frac{2\pi}{\lambda}. $$
-. Продифференцируем эти уравнения по $(\lambda)$, чтобы получить нужные производные:
-   - Для $(\frac{dv}{d\lambda}):$
-      $$ \frac{dv}{d\lambda} = -\frac{c}{\lambda^2}, $$
-   - для $(\frac{dn}{d\lambda}):$
-   $$ \frac{dn}{d\lambda} = - \frac{2 \pi}{\lambda^2}. $$
-. Подставим полученные выражения в формулу групповой скорости:
-$$ v_g = \frac{d(\frac{2\pi c}{\lambda})}{dk} = \frac{-2\pi c}{-\frac{2\pi}{\lambda}} = c \lambda. $$
-. Групповая скорость $( v_g )$, выраженная через длину волны, равна $( c\lambda )$.
-. Теперь подставим выражение для фазовой скорости $( v_{ph} )$ в терминах $(\lambda)$ в уравнение для групповой скорости:
- $$ v_g = v_{ph}\left(1 + \frac{\lambda \frac{dv_{ph}}{d\lambda}}{2}\right). $$
-. Это уравнение показывает, что групповая скорость отличается от фазовой на величину, пропорциональную производной фазовой скорости по длине волны.
-. Таким образом, формула Рэлея связывает групповую и фазовую скорости следующим образом:
- $$ \boxed{ v_g = v_{ph} + \lambda \left(\frac{dv_{ph}}{d\lambda}\right)}. $$
-. Аналогично можно выразить связь через производную показателя преломления:
- $$ n(\lambda) = A + B/\lambda^2, $$
- где $(A)$ и $(B)$ — константы.
-. Тогда:
- $$ \frac{dn}{d\lambda} = -2B/\lambda^3, $$
- и
- $$ \lambda \frac{dn}{d\lambda} = -2B. $$
-. Следовательно, групповая скорость будет равна:
- $$ v_g = v_{ph} - \frac{2B}{n(\lambda)}. $$
-Таким образом, мы получили формулу Рэлея для связи групповой и фазовой скоростей через производные по длине волны и показателю преломления.