Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.18 [2020/02/24 15:18] – [a)] root
+++ optics:res2.18 [2020/02/24 15:28] (текущий) – [д)] root
@@ Строка 38: / Строка 38: @@
 ==== г) ====
-$$u=v-\lambda\frac{d\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}{d\lambda}=v-b^{2}\lambda^{2}\frac{1}{\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}=v-\frac{b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{v^{2}-b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{c^{2}}{v}.$$
+$$u=v-\lambda\frac{d\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}{d\lambda}=v-b^{2}\lambda^{2}\frac{1}{\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}=$$
+$$v-\frac{b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{v^{2}-b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{c^{2}}{v}.$$
 ==== д) ====
-Подставим в выражение $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}\text{\textminus}c^{2}\alpha^{2}}}$
+Подставим в выражение $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$
-фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$, тогда $\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}\text{\textminus}c^{2}\alpha^{2}}=kc$,
+фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$, тогда $\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}=kc$,
-тогда $\omega=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}$.
+а с другой стороны
+$$\omega=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}.$$
-Теперь найдём групповую скорость:$u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}}-\frac{c}{2\left(\sqrt{\varepsilon\mu}\right)^{3}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{c^{2}}{v}-\frac{c\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}$
+Теперь найдём групповую скорость:
+$$
+u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}}-\frac{c}{2\left(\sqrt{\varepsilon\mu}\right)^{3}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=$$
+$$\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}.$$
 Перейдём теперь от зависимости $\varepsilon\mu$ от волнового вектора
-к зависимости от частоты: $\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}\frac{d\omega}{d\omega}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$,
+к зависимости от частоты:
-тогда $u=\frac{c^{2}}{v}-\frac{c\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$
+$$\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}\frac{d\omega}{d\omega}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u,$$
-и разрешая относительно скорости $u:$
+тогда
+$$u=\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$$
-$u=\frac{c^{2}}{v}\left(1+\frac{c\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}\right)^{-1}$
+и разрешая относительно скорости $u$ окончательно получим:
+$$u=\frac{c^{2}}{v\left(1+\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}\right)}.$$