Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.2 [2020/02/07 17:33] – [г)] root
+++ optics:res2.2 [2020/02/08 09:48] (текущий) – [д)] root
@@ Строка 89: / Строка 89: @@
 f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\left(\intop_{-\frac{\tau}{2}}^{0}(1+2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt+\intop_{0}^{\frac{\tau}{2}}(1-2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt\right).
 $$
+Вычислим для удобства отдельно неопределённый интеграл:
 $$
 \intop te^{i\omega t}dt=\frac{1}{i\omega}\intop tde^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega}\left(te^{i\omega t}-\intop e^{i\omega t}dt\right)=\frac{1}{i\omega}te^{i\omega t}+\frac{1}{\omega^{2}}e^{i\omega t}
 $$
+и теперь, с его помощью, вычислим определённый. Сначала первый:
 $$
 \intop_{-\frac{\tau}{2}}^{0}(1+2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt=\left.\left(\frac{1}{i\omega}e^{i\omega t}+\frac{2}{i\omega\tau}te^{i\omega t}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega t}\right)\right|_{-\frac{\tau}{2}}^{0}=
 $$
 $$
-\frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}=\frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}
+\frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}=
 $$
+$$
+\frac{1}{i\omega}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}.
+$$
+Теперь второй:
 $$
 \intop_{0}^{\frac{\tau}{2}}(1-2\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt=\left.\left(\frac{1}{i\omega}e^{i\omega t}-\frac{2}{i\omega\tau}te^{i\omega t}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega t}\right)\right|_{0}^{\frac{\tau}{2}}=
 $$
 $$
--\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-\left(\frac{1}{i\omega}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right)
+-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-\left(\frac{1}{i\omega}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right) .
+$$
+Ну и окончательно, используя сумму вычисленных интегралов:
+$$
+f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right)=
+$$
+$$
+\frac{1}{\pi\omega^{2}\tau}\left(2-e^{i\omega\frac{\tau}{2}}-e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}\right)=
+\frac{2}{\pi\omega^{2}\tau}\left(1-\cos (\omega\frac{\tau}{2})\right)=
 $$
 $$
-f_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2}{\omega^{2}\tau}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}-\frac{2}{\omega^{2}\tau}e^{i\omega\frac{\tau}{2}}+\frac{2}{\omega^{2}\tau}\right)=\frac{2}{\pi\omega^{2}\tau}\left(1-e^{-i\omega\frac{\tau}{2}}\right)=\frac{i4e^{-i\omega\frac{\tau}{4}}\sin\left(\omega\frac{\tau}{4}\right)}{\pi\omega^{2}\tau}
+\frac{4\sin^2\left(\omega\frac{\tau}{4}\right)}{\pi\omega^{2}\tau} =
+\frac{\tau }{4\pi} \text{sinc}^2\left(\omega\frac{\tau}{4}\right)
+.
 $$