Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.32 [2020/02/29 06:02] – root
+++ optics:res2.32 [2020/03/04 08:04] (текущий) – root
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 $$
 Связь между векторами $\vec E$ и $\vec H$ определяется уравнениями Максвелла:
+$$rot\vec{E}=-\frac{\mu}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, \hspace{10pt}
+rot\vec{H}=\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$
+распишем уравнения покомпонентно, с учётом
+$$\vec{E}=\vec{E}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}, \hspace{10pt}
+\vec{H}=\vec{H}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}:
 $$
-\text{rot} \vec E=-\frac{\mu}{c}\
+$$rot\vec{E}=\left|\begin{array}{ccc}
+\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\
+\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
+E_{x} & E_{y} & E_{z}
+\end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)=
 $$
+$$\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}E_{x0}-\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega\vec{H}_{0}.$$
+аналогично для второго уравнения
+$$rot\vec{H}=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}H_{x0}-\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}\right)=\frac{\varepsilon}{c}i\omega\vec{E}_{0}.$$
+Приходим к системе уравнений:
+$$\left\{ \begin{array}{c}
+\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}\\
+ik_{z}E_{x0}+\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\frac{\mu}{c}i\omega H_{y0}\\
+\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{z0}\\
+\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{x0}\\
+ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=-\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{y0}\\
+\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{z0}
+\end{array}\right.$$
+в первое ур-е подставим 5-е
+$$\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{1}{\frac{\varepsilon}{c}\omega}\left(ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}$$
+$$\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=ik_{z}^{2}H_{x0}-i\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}H_{x0}=i\left(k_{z}^{2}-\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{x0}=-i\varkappa^{2}H_{x0}$$
+где $\varkappa^{2}=\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}-k_{z}^{2}$
+так, что
+$$H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$
+Так как первая тройка уравнений отличается от второй тройки заменой
+$$E_{i}\leftrightarrow H_{i} \ \ \text{ и }  \ \ \mu\leftrightarrow-\varepsilon,$$
+то можем записать и второе уравнение:
+$$E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right).$$
+Теперь из второго и 4-го уравнений:
+$$ik_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}i\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\left(k_{z}^{2}-\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{y0}=-\varkappa^{2}H_{y0}$$
+так, что
+$$H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$$
+и после замены:
+$$E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$
+В полученных решениях можно выделить две чистых волны: $E$--волну,
+когда $H_{z0}=0$ и, наоборот, $H$--волну, когда $E_{z0}=0$.
+Таким образом поле в резонаторе можно характеризовать только одной
+компонентой поля $z$ --- составляющей, которая удовлетворяет
+волновому уравнению:
+$$\Delta E_{z0}=\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial t^{2}}$$
+откуда с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{z0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$
+придём к двумерному волновому уравнению:
+$$\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial y^{2}}+\varkappa^{2}E_{z0}=0.$$