Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.32 [2020/03/04 07:42] – root
+++ optics:res2.32 [2020/03/04 08:04] (текущий) – root
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 $$
 Связь между векторами $\vec E$ и $\vec H$ определяется уравнениями Максвелла:
-$rot\vec{E}=-\frac{\mu}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}$
+$$rot\vec{E}=-\frac{\mu}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, \hspace{10pt}
+rot\vec{H}=\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$
-$rot\vec{H}=\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$
+распишем уравнения покомпонентно, с учётом
+$$\vec{E}=\vec{E}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}, \hspace{10pt}
-распишем уравнения покомпонентно с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$,
+\vec{H}=\vec{H}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}:
-$\vec{H}=\vec{H}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$:
+$$
+$$rot\vec{E}=\left|\begin{array}{ccc}
-$rot\vec{E}=\left|\begin{array}{ccc}
 \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\
 \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
 E_{x} & E_{y} & E_{z}
-\end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)=$
+\end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)=
+$$
-$=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}E_{x0}-\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega\vec{H}_{0}$
+$$\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}E_{x0}-\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega\vec{H}_{0}.$$
 аналогично для второго уравнения
-$rot\vec{H}=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}H_{x0}-\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}\right)=\frac{\varepsilon}{c}i\omega\vec{E}_{0}$
+$$rot\vec{H}=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}H_{x0}-\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}\right)=\frac{\varepsilon}{c}i\omega\vec{E}_{0}.$$
 Приходим к системе уравнений:
-$\left\{ \begin{array}{c}
+$$\left\{ \begin{array}{c}
 \frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}\\
 ik_{z}E_{x0}+\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\frac{\mu}{c}i\omega H_{y0}\\
@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=-\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{y0}\\
 \frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{z0}
-\end{array}\right.$
+\end{array}\right.$$
 в первое ур-е подставим 5-е
-$\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{1}{\frac{\varepsilon}{c}\omega}\left(ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}$
+$$\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{1}{\frac{\varepsilon}{c}\omega}\left(ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}$$
-$\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=ik_{z}^{2}H_{x0}-i\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}H_{x0}=i\left(k_{z}^{2}-\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{x0}=-i\varkappa^{2}H_{x0}$
+$$\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=ik_{z}^{2}H_{x0}-i\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}H_{x0}=i\left(k_{z}^{2}-\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{x0}=-i\varkappa^{2}H_{x0}$$
 где $\varkappa^{2}=\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}-k_{z}^{2}$
 так, что
-$H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)$
+$$H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$
 Так как первая тройка уравнений отличается от второй тройки заменой
-$E_{i}\leftrightarrow H_{i}$ и $\mu\leftrightarrow-\varepsilon,$
+$$E_{i}\leftrightarrow H_{i} \ \ \text{ и }  \ \ \mu\leftrightarrow-\varepsilon,$$
 то можем записать и второе уравнение:
-$E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$
+$$E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right).$$
 Теперь из второго и 4-го уравнений:
-$ik_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}i\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\left(k_{z}^{2}-\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{y0}=-\varkappa^{2}H_{y0}$
+$$ik_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}i\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\left(k_{z}^{2}-\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{y0}=-\varkappa^{2}H_{y0}$$
 так, что
-$H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$
+$$H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$$
 и после замены:
-$E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)$
+$$E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$
-В полученных решениях можно выделить две чистых волны: $E$\textendash волну,
+В полученных решениях можно выделить две чистых волны: $E$--волну,
-когда $H_{z0}=0$ и, наоборот, $H$\textendash волну, когда $E_{z0}=0$.
+когда $H_{z0}=0$ и, наоборот, $H$--волну, когда $E_{z0}=0$.
 Таким образом поле в резонаторе можно характеризовать только одной
-компонентой поля $z$\textendash составляющей, которая удовлетворяет
+компонентой поля $z$ --- составляющей, которая удовлетворяет
 волновому уравнению:
-$\Delta E_{z0}=\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial t^{2}}$
+$$\Delta E_{z0}=\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial t^{2}}$$
-откуда с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{z0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$
+откуда с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{z0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$
 придём к двумерному волновому уравнению:
-$\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial y^{2}}+\varkappa^{2}E_{z0}=0$
+$$\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial y^{2}}+\varkappa^{2}E_{z0}=0.$$