Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.34 [2023/03/09 18:04] – создано root
+++ optics:res2.34 [2023/03/10 06:57] (текущий) – root
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 -----
+Компонента поля $E_{z}(x,y)$ подчиняется двумерному волновому уравнению
+$$\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}E_{z}$$
+и граничному условию $E_{z}|_{\Gamma}=0.$
+Будем решать это уравнение методом разделения переменных для чего
+предположим, что $E_{z}=X(x)\cdot Y(y).$ Подставляя это в волновое
+уравнение, получим
+$$Y\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+X\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}XY$$
+разделим обе части уравнения на произведение $XY,$ получим
+$$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}$$
+Первое слагаемое зависит только от $x$ второе --- только от $y$
+и равна константе во всей области определения, это возможно только
+тогда, когда каждая из них равна константе.
+Положим $$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}=-k_{x}^{2};\,\,\,\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{y}^{2}$$
+Тогда
+$$X(x)=A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x,Y(y)=C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y.$$
+Учитывая граничные условия $E_{z}(x=0,y)=0,$ что эквивалентно условию
+$X(0)=0$ и $E_{z}(x,y=0)=0,$ что эквивалентно $Y(0)=0$, получим
+$E_{z}(x,y)=A\sin k_{x}x\sin k_{y}y,$ где $k_{x}$ и $k_{y}$ удовлетворяют
+условию $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k_{\bot}^{2},$ или, другими словами,
+$\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$
+Для удовлетворения условий на границах $x=a$ и $y=b$
+$k_{x,n_{x}}a=n_{x}\pi,\,\,\,k_{y,n_{y}}b=n_{y}\pi,$ где $n_{x}=1,2,3,\ldots,n_{y}=1,2,3,\ldots.$
+Общее решение тогда запишется в виде
+$$E_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\sin\frac{n_{x}\pi}{a}x\sin\frac{n_{y}\pi}{b}y$$
+при условии
+$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu .$$
+Тогда критическая частота будет когда $k_{z}=0,$ а $n_{x}$ и $n_{y}$
+будут минимальными, т.е. $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{b}\right)^{2}}.$$
+Для $H$--волны, из-за граничных условий $\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0$
+произойдёт замена $\sin\to\cos$ так, что
+$$H_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\cos\frac{n_{x}\pi}{a}x\cos\frac{n_{y}\pi}{b}y$$
+при том-же условии
+$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu,$$
+следовательно, минимальное значение частоты если один из $n_{x}$
+или $n_{y}$ занулится: $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\frac{\pi}{\max(a,b)}.$$