Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.4 [2020/02/10 08:27] – создано root
+++ optics:res2.4 [2020/02/10 17:31] (текущий) – root
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 -----
+Найдём связь между компонентами Фурье полей и потенциалов подставив
+в уравнения связи полей и потенциалов
+$$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}],$$
+$$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$
+Запишем функции полей и потенциалов, выраженные через их Фурье образы:
+$$
+\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega  =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}  =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},
+$$
+$$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},
+$$
+$$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},$$
+$$
+\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}.
+$$
+Фурье образы $\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$
+не зависят от времени, а
+$\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$
+--- от пространственных переменных, тогда производные функций, записанные через Фурье образы, после замены порядка интегрирования и дифференцирования, легко берутся.
+Рассмотрим
+сначала разложение на монохроматические волны:
+$$
+\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega
+.$$
+перепишем равенство в виде
+$$
+\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0
+.$$
+Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ
+$$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0 $$
+так же будет нулевым
+$$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$$
+так, что
+$$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}] .$$
+Рассмотрим теперь разложение на плоские волны:
+$$
+\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=
+$$
+$$\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}
+$$
+перепишем равенство в виде
+$$
+\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0 .$$
+Аналогично, как и в предыдущем случае, приходим к равенству нулю подынтегральной
+функции
+$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0,$$
+ну и окончательно
+$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}].$$
+При разложении по плоским и монохроматическим:
+$$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}].$$
+Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям:
+$$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}.$$
+$$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}.$$
+$$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}.$$